大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1987年微分中值定理)

证明题（1987年理工数学Ⅰ）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微，对[0,1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0,1)内，且f'(x)≠1，证明：在(0,1)内有且仅有一个x，使得f(x)=x.

答案解析

作辅助函数F(x)=f(x)-x，由题设0<f(x)<1，所以F(0)=f(0)>0,F(1)=f(1)-1<0，根据连续函数的介值定理知，在(0,1)内至少存在一点ξ，使F(ξ)=f(ξ)-ξ=0.又设0&l...

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讨论

大学数学

计算曲面积分I=∬∑x(8y+1)dydz+2(1-y2 )dxdz-4yzdxdy,其中∑是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于π/2.

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解，其中常数a>0.

设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B，其中A=，求矩阵B.

设f,g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy)，求∂u/∂x∙∂v/∂x

求正的常数a与b，使等式1/(bx-sinx)t2/dt=1成立.

设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A* |等于【】

设(f(x)-f(a))/(x-a)2=-1，则在x=a处【】

若f(x)为已知连续函数，I=tf(tx)dx，其中t>0,s>0，则I的值【】

设常数k>0，则级数(-1)n(k+n)/n2 【】

微分中值定理

已知f(x)在[a,b]上三次可微，且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明：|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.

设f(x)在(0,1)上可导，在[0,1]上连续，且f(1)-f(0)=2e-1-1.证明：存在ξ∈(0,1)，使得eξ^2 f' (ξ)+2ξ3=0.

设函数f(x)在[-a,a]上具有二阶连续导数，证明：(Ⅰ)若f(x)=0，则存在ξ∈(-a,a)，使得f''(ξ)=1/a² [f(a)+f(-a)]；(Ⅱ)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在η∈(-a,a)，使得|f''(η)|≥1/2a²|f(a)-f(-a)|.

设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.

设实系数一元n次方程P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.

设f(x)在含节点xi (i=0,…,n)的区间[a,b]上n+1次可微，Pn (x)是f(x)关于给定的n+1个节点的n次插值多项式，证明：对于任意x∈[a,b]，存在与x有关的ξ∈(a,b)，使得f(x)-Pn (x)=f(n+1) (ξ))/(n+1)!· (x-x0 )(x-x1 )…(x-xn).

设函数f(x)在闭区间[a,]连续，f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0，证明：函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。

已知函数f(x)在(0,1)上连续，且f(1)=3ex-1f(x)dx，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)+f'(ξ)=0.

设函数f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导，且f(a)=f(b)=0,f' (a) f' (b)>0，证明：在开区间(a,b)内存在点x1,x2,x3，使得f(x1)=0,f'(x2)=0,f''(x3)=0.

中值定理与导数的应用

当x→0时，1-cosxcos2xcos3x对于无穷小x的阶数等于 __________.

不查表，求方程x2sin=2x-1977的近似解，精确到0.001.

已知 =c（c≠0），求k和c.

设x>0时，f(x)=，求证：x→0+时，f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求A,B之值.

设函数f(x)=ax-blnx(a>0)有两个零点，则b/a的取值范围是【】

已知f(x)=，求f(x)的凹凸性及渐近线.

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

两实变量x与y之间存在“变化关系”，且“变化关系”满足方程：e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式)：y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令：e10/3-1=2a，可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=? [其中，f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中，f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后，考察函数f(x)的渐近性质： f(x)|x→±∞→?(iii)最后，利用(i)和(ii)的结果，便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

已知三个关于自变量x的函数：y=f(x),z=g(x),t=h(x)，其“函数关系”由如下“隐函数方程组”确定出： (1)确定出y,z,t关于x的单值、连续的函数关系式（解析式）：y=f(x)=?,z=g(x)=?,t=h(x)=?及其各函数的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令e10/3 - 1=2a，可便于计算分析处理。(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f' (x)=?及其可导区域{x}=?(3)给出函数y=f(x)的图像草图.提示：①首先，寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=?[其中，f(xk )=0;(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”：xl'=?[其中，f' (xl' )=0;(l=1,2)].②然后，考察函数f(x)的渐近性质.③最后，利用①②的结果，便可绘制出函数f(x)的图像草图[注意：“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用（分组分解法）因式分解后再作求解].