大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1987年幂级数)

计算题（1987年理工数学Ⅰ）

求幂级数1/(n∙2ⁿ) x^n-1的收敛域，并求其和函数.

答案解析

因为ρ=(|an+1|)/(|an|)=(n2n)/((n+1)2n+1 )=1/2,所以收敛半径R=2，收敛区间为(-2,2).当x=2时，级数1/2n发散，当x=-2时，级数(-1)n-1 1/2n收敛，所以幂级数1/(n∙2n ) xn-1 的收敛域为[-2,2).令S(x)=1/(n2n ) xn =1/n (x/2)n ,则S^' (x)=1/2 (x/2)n-1...

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讨论

大学数学

求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解，其中常数a>0.

设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B，其中A=，求矩阵B.

设f,g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy)，求∂u/∂x∙∂v/∂x

求正的常数a与b，使等式1/(bx-sinx)t2/dt=1成立.

设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A* |等于【】

设(f(x)-f(a))/(x-a)2=-1，则在x=a处【】

若f(x)为已知连续函数，I=tf(tx)dx，其中t>0,s>0，则I的值【】

设常数k>0，则级数(-1)n(k+n)/n2 【】

已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T，则向量β=(2,0,0)T在此基底下的坐标是____________.

设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分∮L(2xy-2y)dx+(x2 - 4x)dy=________.

幂级数

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

求幂级数(x-3)n/(n∙3n)的收敛域.

求幂级数(2n+1) xn 的收敛域，并求其和函数.

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【】

无穷级数

如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

设f(x)在[0,+∞)上非负连续，n是正整数，若f(x)dx存在，则f(x)dx收敛.

设cn(x)在[0,1]上非负连续（n=1,2,…），cn(x)在[0,1]上一致收敛，令Mn=cn(x)，问Mn 是否收敛？用(xn(1-x))/lnn验证上面的结论.

证明：级数xn(lnx)2在区间(0,1)上一致收敛.

判断函数列fn(x)=(x/n)ln(x/n)在区间(0,1)上的一致收敛性（说明理由）.

(1)设函数f(x)在点x_0点附近有定义，证明：f(x)存在（有限）的充分必要条件是：对任意以x0为极限的数列{xn},xn≠x0，都有数列{f(xn)}收敛；(2)判断极限sin 1/x是否存在（说明理由）.

设hn (x)在[a,b)连续，且fn (x)≤hn (x)≤gn (x),∀x∈(a,b)，若级数fn (x),gn(x)在(a,b)上收敛，级数hn(a)发散，证明：(1)级数hn (x)在(a,b)上收敛；(2)级数hn (x)在(a,b)上非一致收敛；

已知含参变量积分F(x)=sin⁡(xy)/(ln⁡(lny)) dy，证明：(1) F(x)在[δ,+∞)上关于x一致收敛（δ>0）(2) F(x)在(0,+∞)上关于x不一致收敛.

已知{un(x)}是可微函数列，且un(x)在[a,b]上一致有界，证明：若un(x)收敛，则un(x)必定一致收敛.