大学数学-考研试题(武汉大学 2022年函数项级数的一致收敛性)

证明题（2022年武汉大学）

已知{u_n(x)}是可微函数列，且u_n(x)在[a,b]上一致有界，证明：若u_n(x)收敛，则u_n(x)必定一致收敛.

答案解析

由已知，|un' (x)|≤M，将[a,b]等分，分点为x0,x1,⋯,xm，对∀ε>0，令m充分大，使|xi-xi-1 |<ε/2M,(i=1,2,⋯,m).由于un (x)在[a,b]上收敛，故un (xi)收敛，i=1,2,⋯,m.由柯西准则知，对上述ε>0,∃N>0，当n>N时，对∀P∈N+,xi (i=0,1,⋯,m)...

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讨论

大学数学

已知含参变量积分F(x)=sin⁡(xy)/(ln⁡(lny)) dy，证明：(1) F(x)在[δ,+∞)上关于x一致收敛（δ>0）(2) F(x)在(0,+∞)上关于x不一致收敛.

已知f(x)在[a,b]上三次可微，且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明：|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.

已知S={(x,y,z)│x2+4y2+9z2=1,z≤0}取下侧，求∬S(yez+x)dydz+(zex+y)dzdx+(xcosxy+z)dxdy

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV

设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)取正值，由积分中值定理有f(t)g(t)dt=f(ξ)g(t) dt(a≤ξ≤x≤b)若f+' (a)存在且f+' (a)≠0，求(ξ-a)/(x-a).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

计算(2-x-2cosx)/(xex-ln⁡(1+x))

试问：级数(1+1/2+⋯+1/n)/(n(n+2))是否收敛？若收敛，试求它的和.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

函数项级数的一致收敛性

求证：(-1)n-1x2/(1+x2 )n 在R上一致收敛.

求证：x2/(1+x2 )n 收敛，但在R上不一致收敛.

设函数项级数ne-nx ,x∈(0,+∞).(1)证明此级数在(0,+∞)上收敛但不一致收敛；(2)求此级数的和函数；(3)给出数项级数n/e3n 的和.

设un(x) = e-nx + xn+1 (n=1,2,…)，求级数un(x)的收敛域和函数.

设n为正整数，y=yn (x)是微分方程xy' - (n+1)y=0满足条件yn(1)=1/n(n+1)的解.(1) 求yn (x);(2) 求级数yn(x)的收敛域及和函数.

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.

设f(x)在[0,+∞)上非负连续，n是正整数，若f(x)dx存在，则f(x)dx收敛.

设cn(x)在[0,1]上非负连续（n=1,2,…），cn(x)在[0,1]上一致收敛，令Mn=cn(x)，问Mn 是否收敛？用(xn(1-x))/lnn验证上面的结论.

证明：级数xn(lnx)2在区间(0,1)上一致收敛.

无穷级数

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

设un=(-1)n ln⁡(1+1/√n)，则级数【】

设an>0(n=1,2,⋯)，且an 收敛，常数λ∈(0,π/2)，则级数(-1)n (ntan λ/n) a2n【】

设幂级数anxn 的收敛半径为3，则幂级数nan (x-1)n+1的收敛区间为________.

设a1=2,an+1=1/2(an+1/an )(n=1,2,…)，证明：(1) an 存在；(2)级数(an/an+1 -1)收敛.

设正向数列{an}单调减少，且(-1)nan 发散，试问级数(1/(an+1))n 是否收敛？并说明理由.

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

证明：级数(2n-1)‼/(n!3n)收敛.

已知a1=2,an+1=1/2 (an+1/an )，证明：(1)数列{an }收敛；(2) (an/an+1 -1) 收敛.

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .