大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1997年常数项级数的审敛法)

填空题（1997年理工数学Ⅰ）

设幂级数a_nxⁿ 的收敛半径为3，则幂级数na_n (x-1)ⁿ⁺¹的收敛区间为________.

答案解析

(-2,4)

讨论

幂级数

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

求幂级数(x-3)n/(n∙3n)的收敛域.

求幂级数(2n+1) xn 的收敛域，并求其和函数.

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

常数项级数的审敛法

若un>0,n=1,2,…且∀n,un+1/un <1则un 收敛.

设常数k>0，则级数(-1)n(k+n)/n2 【】

设α为常数，则级数(sinnα/n2 -1/√n)【】

级数(-1)n(1-cos⁡ α/n)(常数α>0)【】

设常数λ>0，且级数an2 收敛，则级数(-1)n |an |/【】

设f(x)在x=0的某一领域内具有二阶连续导数，且f(x)/x=0，证明级数f(1/n)绝对收敛.

设un=(-1)n ln⁡(1+1/√n)，则级数【】

设an>0(n=1,2,⋯)，且an 收敛，常数λ∈(0,π/2)，则级数(-1)n (ntan λ/n) a2n【】

已知an<bn (n=1,2,⋯), 若级数an ,与bn 均收敛，则“an 绝对收敛”是“bn 绝对收敛的”【】

设级数sinnx/(1+nx2)(1)当x取何值时，级数绝对收敛？并说明理由；(2)当x取何值时，级数条件收敛？并说明理由.

无穷级数

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

设hn (x)在[a,b)连续，且fn (x)≤hn (x)≤gn (x),∀x∈(a,b)，若级数fn (x),gn(x)在(a,b)上收敛，级数hn(a)发散，证明：(1)级数hn (x)在(a,b)上收敛；(2)级数hn (x)在(a,b)上非一致收敛；

设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(-1,1]上定义为f(x)=，则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于______.

设函数f(x)=x2,0≤x<1，而S(x)=bnsinnπx,-∞<x<+∞，其中bn=2f(x)sinnπxdx,x=1,2,3,…，则S(-1/2)等于【】

将函数f(x)=arctan⁡(1+x)/(1-x)展开为x的幂级数.

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【】

将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数1/n2 的和.

设f(x)=，则其以2π为周期的傅里叶级数在点x=π处收敛于__________.

设函数f(x)=πx+x2 (-π<x<π)的傅里叶级数展开式为a0/2+(ancosnx+bnsinnx)，其中系数b3的值为__________.

将函数f(x)=1/4 ln⁡(1+x)/(1-x)+1/2 arctanx-x展开成x的幂级数.