大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1990年幂级数)

计算题（1990年理工数学Ⅰ）

求幂级数(2n+1) xⁿ 的收敛域，并求其和函数.

答案解析

因为ρ=|an+1 |/|an | =⁡(2n+3)/(2n+1)=1，所以收敛半径R=1，收敛区间为(-1,1).当x=1时，级数(2n+1)发散；当x=-1时，级数(2n+1) (-1)n 也发散，所以，幂级数(2n+1) xn 的收敛域为(-1,1).令S(x)=(...

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讨论

大学数学

求微分方程y''+4y'+4y=e-2x的通解（一般解）.

设z=f(2x-y,ysinx)，其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求∂2z/∂x∂y.

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1,α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解（一般解）必是【】

已知f(x)在x=0的某个领域内连续，且f(0)=0,f(x)/(1-cosx)=2，则在点x=0处f(x)【】

设α为常数，则级数(sinnα/n2 -1/√n)【】

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f' (x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n) (x)等于【】

设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F'(x)等于【】

已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P{X=k}=2ke-2/k!,k=0,1,2,…，则随机变量Z=3X-2的期望E(Z)=________.

设随机事件A,B及其和事件A∪B的概率分别是0.4,0.3,0.6，若B ̅表示B的对立事件，那么积事件AB ̅的概率P(AB ̅ )=________.

幂级数

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

求幂级数(x-3)n/(n∙3n)的收敛域.

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

欧拉方程x2y″ + xy' - 4y = 0满足条件y(1) = 1,y'(1) = 2得解为y = ______.

无穷级数

判断函数列fn(x)=(x/n)ln(x/n)在区间(0,1)上的一致收敛性（说明理由）.

(1)设函数f(x)在点x_0点附近有定义，证明：f(x)存在（有限）的充分必要条件是：对任意以x0为极限的数列{xn},xn≠x0，都有数列{f(xn)}收敛；(2)判断极限sin 1/x是否存在（说明理由）.

设hn (x)在[a,b)连续，且fn (x)≤hn (x)≤gn (x),∀x∈(a,b)，若级数fn (x),gn(x)在(a,b)上收敛，级数hn(a)发散，证明：(1)级数hn (x)在(a,b)上收敛；(2)级数hn (x)在(a,b)上非一致收敛；

证明：(-1)n(n+x2)/n2在[a,b]上一致收敛.

叙述Egoroff定理.

考虑一个Lebesgue不可测集W⊂[0,1]，定义函数f(x)=证明：fy(x)=0，但存在一个δ>0，使得对于[0,2]中任意可测子集Eδ,m(Eδ )<δ，当y→∞时，函数列{fy(x)}在[0,2]Eδ上不一致收敛到0.

设a1,a2,⋯,an是n个实数，都落在区间(-1,1)里.(1)证明 ∏1≤i,j≤n(1+aiaj)/(1-aiaj )≥1(2)找出以上不等式中等号成立的充分必要条件.

设n为正整数，y=yn (x)是微分方程xy' - (n+1)y=0满足条件yn(1)=1/n(n+1)的解.(1) 求yn (x);(2) 求级数yn(x)的收敛域及和函数.

函数f(z)=1/(z-1)(z-2)在圆环区域：(1) 0<|z|<1；(2) 1<|z|<2；(3) 2<|z|<+∞；内是处处解析的。试把f(z)在这些区域内展成洛朗级数。

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.