设a1,a2,⋯,an是n个实数，都落在区间(-1,1)里.
(1)证明 ∏1≤i,j≤n(1+aiaj)/(1-aiaj )≥1
(2)找出以上不等式中等号成立的充分必要条件.
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证明题（2023年北京大学）
答案解析
由于aj∈(-1,1),j=1,⋯,n，从而|ai aj |<1,i,j∈{1,⋯,n}.于是1±ai aj>0,i,j∈{1,⋯,n}要证∏1≤i,j≤n(1+ai aj)/(1-ai aj )≥1即证∑1≤i,j≤n(ln(1+ai aj )-ln(1-ai aj))≥0由Taylor级数ln(1+t)=∑i=1+∞((-1)i+1 ti)/i,t∈(-1,1)知∑1≤i,j≤n(ln(1+ai aj )-ln(1-ai aj))=∑1≤i,j≤n∑i=1+∞(((-1)i+1 (ai aj )i)/i-((-1)i+1 (-ai aj )i)/i) =∑1≤i,j≤n∑i=1+∞(2ai2i-1 aj2i-1)/(2i-1)=∑i=1+∞2/(2i-1)∙∑1≤i,j≤nai2i-1 aj2i-1=∑i=1+∞2/(2i-1)∙(∑k=1nak2i-1 )2≥0当且仅当∑k=1nak2i-1 =0,i=1...
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设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续，求证：1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2 maxx∈[a,b] |f'(x)|,x∈[a,b]
证明：xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中，a>0为常数.
分析{(x,y)|x²+y²<1}上的实系统其中的所有奇点，并确定其类型，画出奇点附近的大致图，并与之对应的一次近似系统作比较.
给定x0>0以及[0,+∞)上连续函数f(x)，证明：至多具有一个定义于[0,+∞)上的连续函数y(x)满足对任意的x>0，有dy/dx=-y³+f(x)，其中y(0)=y0.
设[a,+∞)上非负连续函数f可导，且具有连续导函数，若存在r>1，使xf'(x)/f(x)≤-r，证明：反常积分f(x)dx收敛.
设f在[0,1]上连续，在(0,1)上有二阶连续导数，f(0)=f(1)=1,f'' (x)<8，证明：对任意的x∈[0,1]，有f(x)>0.
函数f(z)=1/(z-1)(z-2)在圆环区域：(1) 0<|z|<1；(2) 1<|z|<2；(3) 2<|z|<+∞；内是处处解析的。试把f(z)在这些区域内展成洛朗级数。
将函数f(x)=arctan(1+x)/(1-x)展开为x的幂级数.
将函数f(x)=1/4 ln(1+x)/(1-x)+1/2 arctanx-x展开成x的幂级数.
设矩阵T=,T以及D可逆，证明(A-BD-1 C)-1存在，并求T-1，其中A,B,C,D为适当维度的矩阵。
设A是n级实对称矩阵，证明rank(A)=n的充要条件是：存在实对称矩阵B使AB+B'A是正定矩阵。
设S1,S3为实对称矩阵，S2为实矩阵，则矩阵S=为正定矩阵的充要条件为矩阵S3与矩阵S1-S2 S3-1 S2'皆为正定矩阵。
设A为数域P上的一个n级矩阵，如果f(A)=0，则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式，证明矩阵A的最小多项式是惟一的。
设A为m×n且秩为s的矩阵，X为p×m的列满秩矩阵，即r(X)=m，而Y为n×q的行满秩矩阵，即r(Y)=n。证明：r(A)=r(XA)=r(AY)=r(XAY)其中符号r(T)表示矩阵T的秩。
设un(x) = e-nx + xn+1 (n=1,2,…)，求级数un(x)的收敛域和函数.
设n为正整数，y=yn (x)是微分方程xy' - (n+1)y=0满足条件yn(1)=1/n(n+1)的解.(1) 求yn (x);(2) 求级数yn(x)的收敛域及和函数.
求级数xn/(ln(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.
如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.
若un>0,n=1,2,…且∀n,un+1/un <1则un 收敛.
设f(x)在[0,+∞)上非负连续，n是正整数，若f(x)dx存在，则f(x)dx收敛.
设cn(x)在[0,1]上非负连续（n=1,2,…），cn(x)在[0,1]上一致收敛，令Mn=cn(x)，问Mn 是否收敛？用(xn(1-x))/lnn验证上面的结论.