大学数学-考博试题(北京大学 2003年矩阵的秩)

证明题（2003年北京大学）

设A为m×n且秩为s的矩阵，X为p×m的列满秩矩阵，即r(X)=m，而Y为n×q的行满秩矩阵，即r(Y)=n。证明：

r(A)=r(XA)=r(AY)=r(XAY)

其中符号r(T)表示矩阵T的秩。

答案解析

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讨论

矩阵的秩

设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________.

设A，B都是n(n≥2)阶复方阵，则rank(AB)=rank(BA).

已知n阶矩阵A,B,C满足ABC=0，E是n阶单位矩阵，记矩阵,,的秩分别为γ1,γ2,γ3，则【】

设A是n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明秩R(A*)与R(A)之间满足R(A* )=

设A≠0，证明：R(A)=1的充要条件是A可表示为一个列向量与一个行向量的乘积。

设A=，B是三阶非零方阵，且AB=O，求a,b以及B的秩.

设A=，其中a_i≠0,b≠0(i=1,2,⋯,n)，则矩阵A的秩r(A)=________.

已知Q=，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=0，则【】

设A是n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵，(1)证明：|A* |=|A|n-1;(2)证明：R(A* )=.

设A=,A11∈Cr×r,rankA11=r且rankA=rankA11，证明：(1) A22-A21 A11-1 A12=0(2) N()=R()其中N(T),R(T)分别表示T∈Cm×n的零空间与列空间，即N(T)={x|Tx=0}⊂Cn R(T)={y|y=Tx,x∈Cn}⊂Cm Cm×n表示 m×n复数矩阵空间，Cn表示复n维列向量构成的线性空间，In-r表示 (n-r)×(n-r)单位矩阵。

矩阵的运算

设A,A-E可逆，若B满足(E-(A-E)-1 )B=A，则B-A=______________.

设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加第1列，得到矩阵，则A-1的迹tr(A-1)=__________.

设A=，则A-1=__________，A2022=__________，A的最大奇异值σ1=__________.

若x=(-1,2,3,0,4)，求‖x‖1,‖x‖2,‖x‖∞.

设A=，求‖x‖1,‖x‖F,‖x‖∞.

设=QR，其中Q是正交方阵，R是对角线元素大于0的上三角方阵，则R=________.

设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明：A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.

下列矩阵中不能相似于对角矩阵的【】

已知A=(1) 求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；(2) 求正定矩阵C，使得C2 = (a+3)E-A.

设A=(aij)是n阶实对称正定矩阵，b1,b2,…,bn为任意非零实数，证明B=(aijbibj)也是正定的。

矩阵

设A是2022阶可逆对称实方阵，则A必有2021阶非零主子式

设A = aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A| = 3，A11 + A21 + A31 = ______.

设A,B为n阶实矩阵，下列结论不成立的是【】

已知矩阵A=，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别取【】

设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为M的伴随矩阵，则=【】

设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置，证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1;(2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵.

设矩阵A=仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.

设A为任一n阶矩阵，数λ>0，证明λI+AT A为正定矩阵。

若n维列向量α与β正交，A=αβT，则A的特征值全为零。

已知A=,B为三阶方阵，满足A2B=A+AB，求B。