大学数学-考博试题(电子科技大学 2002年秋矩阵的秩)

证明题（2002年秋电子科技大学）

设A是n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明秩R(A*)与R(A)之间满足

R(A* )=

答案解析

(1)R(A)=n时，由|A* |=|A|≠0知R(A* )=n(2)R(A)=n-1时，|A|=0，AA*=|A|I=0，R(A)+R(A* )≤n，R(A* )≤n-R(A)=1，又R(A)=n-...

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讨论

矩阵的秩

设A=，B是三阶非零方阵，且AB=O，求a,b以及B的秩.

设A=，其中a_i≠0,b≠0(i=1,2,⋯,n)，则矩阵A的秩r(A)=________.

已知Q=，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=0，则【】

设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________.

设A，B都是n(n≥2)阶复方阵，则rank(AB)=rank(BA).

已知n阶矩阵A,B,C满足ABC=0，E是n阶单位矩阵，记矩阵,,的秩分别为γ1,γ2,γ3，则【】

设A是n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵，(1)证明：|A* |=|A|n-1;(2)证明：R(A* )=.

设A=,A11∈Cr×r,rankA11=r且rankA=rankA11，证明：(1) A22-A21 A11-1 A12=0(2) N()=R()其中N(T),R(T)分别表示T∈Cm×n的零空间与列空间，即N(T)={x|Tx=0}⊂Cn R(T)={y|y=Tx,x∈Cn}⊂Cm Cm×n表示 m×n复数矩阵空间，Cn表示复n维列向量构成的线性空间，In-r表示 (n-r)×(n-r)单位矩阵。

设矩阵A=，求P(A).

设A≠0，证明：R(A)=1的充要条件是A可表示为一个列向量与一个行向量的乘积。

正定矩阵

设A是n阶正定矩阵，B为n阶实方阵，证明：(1)若B'=B,则AB的特征值为实数；(2)若B正定,则AB的特征值皆大于0；(3)若B正定,且AB=BA,则AB正定。

设A为正交阵，且A|=-1，证明：A+E不可逆.

设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1.

设A为实对称矩阵。证明当实数t充分大之后，tI+A是正定矩阵，其中I表示单位矩阵。

设A,B均为n阶实对称阵，A的特征值均小于a，B的特征值均小于b.证明：对任意的k>a+b,A+B-kE是负定矩阵.

设A=(aij)n×n为正定矩阵.证明：f(x1,x2,…,xn )=是负定二次型，其中符号|∙|表示行列式.

设A=为n×n正定矩阵，证明：|A|≤a11 a22…ann.其中符号|∙|表示行列式.

设A是n级实对称矩阵，证明rank(A)=n的充要条件是：存在实对称矩阵B使AB+B'A是正定矩阵。

设S1,S3为实对称矩阵，S2为实矩阵，则矩阵S=为正定矩阵的充要条件为矩阵S3与矩阵S1-S2 S3-1 S2'皆为正定矩阵。

电子科技大学复变函数

矩阵的运算

设A=，求‖x‖1,‖x‖F,‖x‖∞.

设C=，求C101.

设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有【】

已知α=[1,2,3],β=[1,1/2,1/3]，设A=αTβ，其中αT是α的转置，则An=________________.

设3阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA，且A=，则B=____________.

设A=,B=且A与B相似.(1)求α,β的值;(2)求可逆阵P使P-1 AP=B.

设4阶矩阵B=,C=，且矩阵A满足关系式A(E-C-1 B)T CT=E,其中E为4阶单位矩阵，C-1表示 C的逆矩阵，CT表示 C的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵A.

设A=,B=,P_1=,P_2=，则必有【】

设A,A-E可逆，若B满足(E-(A-E)-1 )B=A，则B-A=______________.

若x=(-1,2,3,0,4)，求‖x‖1,‖x‖2,‖x‖∞.