大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1992年矩阵的秩)

填空题（1992年理工数学Ⅰ）

设A=，其中a_i≠0,b≠0(i=1,2,⋯,n)，则矩阵A的秩r(A)=________.

答案解析

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讨论

矩阵的秩

设A为m×n且秩为s的矩阵，X为p×m的列满秩矩阵，即r(X)=m，而Y为n×q的行满秩矩阵，即r(Y)=n。证明：r(A)=r(XA)=r(AY)=r(XAY)其中符号r(T)表示矩阵T的秩。

设矩阵A=，求P(A).

设A是n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵，(1)证明：|A* |=|A|n-1;(2)证明：R(A* )=.

设A=，B是三阶非零方阵，且AB=O，求a,b以及B的秩.

设A=,A11∈Cr×r,rankA11=r且rankA=rankA11，证明：(1) A22-A21 A11-1 A12=0(2) N()=R()其中N(T),R(T)分别表示T∈Cm×n的零空间与列空间，即N(T)={x|Tx=0}⊂Cn R(T)={y|y=Tx,x∈Cn}⊂Cm Cm×n表示 m×n复数矩阵空间，Cn表示复n维列向量构成的线性空间，In-r表示 (n-r)×(n-r)单位矩阵。

设A是n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明秩R(A*)与R(A)之间满足R(A* )=

设A≠0，证明：R(A)=1的充要条件是A可表示为一个列向量与一个行向量的乘积。

已知n阶矩阵A,B,C满足ABC=0，E是n阶单位矩阵，记矩阵,,的秩分别为γ1,γ2,γ3，则【】

设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________.

设A，B都是n(n≥2)阶复方阵，则rank(AB)=rank(BA).

矩阵的运算

设A为任一n阶矩阵，数λ>0，证明λI+AT A为正定矩阵。

若n维列向量α与β正交，A=αβT，则A的特征值全为零。

已知A=,B为三阶方阵，满足A2B=A+AB，求B。

方阵A=，而n≥2为整数，则A2-2An-1=__________。

已知A=,B=满足(E-A-1B) XT=A-1（其中E为单位阵），试求X。

已知矩阵：A=,B=,C= 计算：(cosα∙A+cosβ∙B+cosγ∙C)3=？其中，cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1,cosα+2cosβ+3cosγ=√3/3.提示：设E=，并引入三个矩阵：A'=A-E,B'=B-2E,C'=C-3E [注意：(cosα∙A'+cosβ∙B'+cosγ∙C')2=？]后，再作计算.

设C=，求C101.

设A=,B=且A与B相似.(1)求α,β的值;(2)求可逆阵P使P-1 AP=B.

若x=(-1,2,3,0,4)，求‖x‖1,‖x‖2,‖x‖∞.

设A=，求‖x‖1,‖x‖F,‖x‖∞.

矩阵

设A是n阶正定矩阵，B为n阶实方阵，证明：(1)若B'=B,则AB的特征值为实数；(2)若B正定,则AB的特征值皆大于0；(3)若B正定,且AB=BA,则AB正定。

设A为正交阵，且A|=-1，证明：A+E不可逆.

设A,B均为n阶实对称阵，A的特征值均小于a，B的特征值均小于b.证明：对任意的k>a+b,A+B-kE是负定矩阵.

设矩阵T=,T以及D可逆，证明(A-BD-1 C)-1存在，并求T-1，其中A,B,C,D为适当维度的矩阵。

设A=为n×n正定矩阵，证明：|A|≤a11 a22…ann.其中符号|∙|表示行列式.

设A=,A*为A的伴随矩阵，则|(1/4 A)-1 - 15A* |=________.

设A为方阵，g(λ)是A的最小多项式，f(λ)为任意多项式.证明：f(A)可逆⇔(f(λ),g(λ))=1.

设A是n级实对称矩阵，证明rank(A)=n的充要条件是：存在实对称矩阵B使AB+B'A是正定矩阵。

设S1,S3为实对称矩阵，S2为实矩阵，则矩阵S=为正定矩阵的充要条件为矩阵S3与矩阵S1-S2 S3-1 S2'皆为正定矩阵。

设A为实对称矩阵。证明当实数t充分大之后，tI+A是正定矩阵，其中I表示单位矩阵。