大学数学-考博试题(东北财经大学 2003年矩阵的四则运算)

计算题（2003年东北财经大学）

已知A=,B=满足(E-A^-1B) X^T=A^-1（其中E为单位阵），试求X。

答案解析

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讨论

矩阵的运算

设A=,B=且A与B相似.(1)求α,β的值;(2)求可逆阵P使P-1 AP=B.

已知α=[1,2,3],β=[1,1/2,1/3]，设A=αTβ，其中αT是α的转置，则An=________________.

设3阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA，且A=，则B=____________.

设A=,B=,P_1=,P_2=，则必有【】

设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________.

设A,A-E可逆，若B满足(E-(A-E)-1 )B=A，则B-A=______________.

设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加第1列，得到矩阵，则A-1的迹tr(A-1)=__________.

设A=，则A-1=__________，A2022=__________，A的最大奇异值σ1=__________.

设=QR，其中Q是正交方阵，R是对角线元素大于0的上三角方阵，则R=________.

设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明：A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.

矩阵

设A是2022阶可逆对称实方阵，则A必有2021阶非零主子式

设A = aij为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A| = 3，A11 + A21 + A31 = ______.

下列矩阵中不能相似于对角矩阵的【】

设A,B为n阶实矩阵，下列结论不成立的是【】

已知A=(1) 求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；(2) 求正定矩阵C，使得C2 = (a+3)E-A.

已知矩阵A=，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别取【】

若x=(-1,2,3,0,4)，求‖x‖1,‖x‖2,‖x‖∞.

设A=，求‖x‖1,‖x‖F,‖x‖∞.

设A=(aij)是n阶实对称正定矩阵，b1,b2,…,bn为任意非零实数，证明B=(aijbibj)也是正定的。

设A为任一n阶矩阵，数λ>0，证明λI+AT A为正定矩阵。

矩阵的四则运算

已知A=,B为三阶方阵，满足A2B=A+AB，求B。

方阵A=，而n≥2为整数，则A2-2An-1=__________。

设C=，求C101.

设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有【】

考虑循环矩阵A=证明：(1) A=a0 In+a1 T+a2 T2+⋯+an-1 Tn-1，其中T=In表示n×n单位矩阵。(2) T相似于对角矩阵。(3) A相似于对角矩阵。

设B为一r×r矩阵，C为一r×n矩阵.如果BC=C,问B=E是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例，并给出使B=E的充要条件。其中E为单位矩阵.

设A是一个n×n实矩阵，秩(A)=1，证明A2=kA，其中k为一实数.

已知AP=PB，其中B=,P=，求A,A5.

设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B，其中A=，求矩阵B.

若随机变量X服从参数λ=1的指数分布，则P(-2<x<2)=__________。