大学数学-考博试题(北京大学 2004年矩阵的四则运算)

证明题（2004年北京大学）

考虑循环矩阵A=

证明：(1) A=a₀ I_n+a₁ T+a₂ T²+⋯+a_n-1 T^n-1，其中

T=

I_n表示n×n单位矩阵。

(2) T相似于对角矩阵。

(3) A相似于对角矩阵。

答案解析

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讨论

相似矩阵与方阵的对角化

下列是A3×3可对角化的充分而非必要条件是【】

任意置换方阵可复相似于对角阵。

若A=相似于对角阵，则a与b的关系为________.

已知矩阵A=与B=相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.

设a1,a2,⋯,an是n个实数，都落在区间(-1,1)里.(1)证明 ∏1≤i,j≤n(1+aiaj)/(1-aiaj )≥1(2)找出以上不等式中等号成立的充分必要条件.

设A=(aij)n×n，且行列式≠0,1≤k≤n.证明存在下三角形矩阵Bn×n，使BA为上三角形矩阵。

北京大学齐次微分方程

考虑线性方程组dx/dt=A(t)x+f(t) (1)其中A(t),f(t)以ω为周期，A(t)为n×n的矩阵函数，f(t)为n维向量函数。设x1 (t),x2 (t),…,xn (t)是对应齐次方程组dx/dt=A(t)x (2)的基本解组，满足初始条件：x1 (0)=,x2 (0)=,…,xn (0)= 证明：1.设x=φ(t)是(1)的解，则x=φ(t)是(1)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)。2.对于任何连续的周期函数f(t),f(t)=f(t+ω)，方程组(1)有惟一的周期解（周期为ω）的充要条件是矩阵X(ω)=[x1 (ω)…xn (ω)]没有等于1的特征根。

设A为数域P上的一个n级矩阵，如果f(A)=0，则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式，证明矩阵A的最小多项式是惟一的。

设矩阵T=,T以及D可逆，证明(A-BD-1 C)-1存在，并求T-1，其中A,B,C,D为适当维度的矩阵。

矩阵的运算

证明：任一可逆的实矩阵A可以表示成A=QB，其中Q为正交矩阵，B是主对角线上元素均为正的三角形矩阵：B=,bii>0,且此表示式是惟一的。

设A,A-E可逆，若B满足(E-(A-E)-1 )B=A，则B-A=______________.

设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加第1列，得到矩阵，则A-1的迹tr(A-1)=__________.

设A=，则A-1=__________，A2022=__________，A的最大奇异值σ1=__________.

设=QR，其中Q是正交方阵，R是对角线元素大于0的上三角方阵，则R=________.

设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明：A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.

下列矩阵中不能相似于对角矩阵的【】

已知A=(1) 求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；(2) 求正定矩阵C，使得C2 = (a+3)E-A.

若x=(-1,2,3,0,4)，求‖x‖1,‖x‖2,‖x‖∞.

设A=，求‖x‖1,‖x‖F,‖x‖∞.

矩阵的四则运算

已知A=,B为三阶方阵，满足A2B=A+AB，求B。

方阵A=，而n≥2为整数，则A2-2An-1=__________。

已知A=,B=满足(E-A-1B) XT=A-1（其中E为单位阵），试求X。

设3阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA，且A=，则B=____________.

已知α=[1,2,3],β=[1,1/2,1/3]，设A=αTβ，其中αT是α的转置，则An=________________.

设C=，求C101.

设B为一r×r矩阵，C为一r×n矩阵.如果BC=C,问B=E是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例，并给出使B=E的充要条件。其中E为单位矩阵.

设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位矩阵，则必有【】

设A是一个n×n实矩阵，秩(A)=1，证明A2=kA，其中k为一实数.

已知AP=PB，其中B=,P=，求A,A5.