已知A=
(1) 求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；
(2) 求正定矩阵C，使得C2 = (a+3)E-A.
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问答题（2021年理工数学Ⅰ）
答案解析
(1) 由|λE-A| = = (λ-a+1)2 (λ-a-a) = 0得λ1 = a+2,λ2 = λ3 = a-1当λ1 = a+2时((a+2)E-A) = 的特征向量α1 = 当λ2 = λ3 = a-1时((a+2)E-A) = 的特征向量α2 = ,α3 ...
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设A是2022阶可逆对称实方阵，则A必有2021阶非零主子式
设A=,A*为A的伴随矩阵，则|(1/4 A)-1 - 15A* |=________.
设A=E-ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置，证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1;(2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵.
设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆；(2)求AB-1.
设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为M的伴随矩阵，则=【 】
设A是n阶正定矩阵，B为n阶实方阵，证明：(1)若B'=B,则AB的特征值为实数；(2)若B正定,则AB的特征值皆大于0；(3)若B正定,且AB=BA,则AB正定。
设=QR，其中Q是正交方阵，R是对角线元素大于0的上三角方阵，则R=________.
设α1,…,αn和β1,…,βn是线性空间V的两组基，V上的线性变换A把每个αi映成βi,i=1,…,n.证明：A在α1,…,αn下的矩阵和在β1,…,βn下的矩阵相等.
设A∈Rm×n,rankA=r，证明存在可逆矩阵M∈Rm×m及正交矩阵P∈Rn×n，使得MAP= 其中Rm×n表示 m×n实数矩阵空间，Ir表示r×r单位矩阵，C∈Rr×(n-r)。
设A=(aij)是n阶实对称正定矩阵，b1,b2,…,bn为任意非零实数，证明B=(aijbibj)也是正定的。
设A为任一n阶矩阵，数λ>0，证明λI+AT A为正定矩阵。
证明：任一可逆的实矩阵A可以表示成A=QB，其中Q为正交矩阵，B是主对角线上元素均为正的三角形矩阵：B=,bii>0,且此表示式是惟一的。
二次型f(x1,x2,x3 ) = (x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 - (x3 - x1)2的正惯性指数依次为【 】