大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1990年定积分的分部积分法)

计算题（1990年理工数学Ⅰ）

求ln⁡(1+x)/(2-x)² dx.

答案解析

原式=ln⁡(1+x)d(1/(2-x))= 1/(2-x) ln⁡(1+x)-dx/(1+x)(2-x) =ln2-1/3 (1/(2-x)+1/(1+x)) dx =ln2-1/3 ln⁡...

查看完整答案

讨论

大学数学

已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1,α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解（一般解）必是【】

已知f(x)在x=0的某个领域内连续，且f(0)=0,f(x)/(1-cosx)=2，则在点x=0处f(x)【】

设α为常数，则级数(sinnα/n2 -1/√n)【】

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f' (x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n) (x)等于【】

设f(x)是连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F'(x)等于【】

已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P{X=k}=2ke-2/k!,k=0,1,2,…，则随机变量Z=3X-2的期望E(Z)=________.

设随机事件A,B及其和事件A∪B的概率分别是0.4,0.3,0.6，若B ̅表示B的对立事件，那么积事件AB ̅的概率P(AB ̅ )=________.

已知随机变量X的概率密度函数f(x)=1/2 e-|x|,-∞<x<+∞，则X的概率分布函数F(x)=____________.

已知向量组α1=(1,2,3,4),α2=(2,3,4,5),α3=(3,4,5,6),α4=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是______.

积分dxdy=__________.

定积分的分部积分法

求定积分sinθ/(sinθ+cosθ) dθ.

设函数f(x)在开区间[0,1]上可微，f(0)=0，且在[0,1]内0<f'(x)<1，证明：(1)对于任意x∈(0,1),f(t)dt>1/2 f2 (x);(2) (f(x)dx)2>f3(x)dx.

利用留数定理计算下列积分cos(bx)dx（a>0,b为实数）

利用δ函数的性质，计算积分δ(x2+1)sinxdx.

计算积分xm-1/(1+xn) dx，其中0<m<n.

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

tsint dt=__________.

已知三维向量空间的基底为α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T，则向量β=(2,0,0)T在此基底下的坐标是____________.

设(f(x)-f(a))/(x-a)2=-1，则在x=a处【】

定积分

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负，且广义积分f(x)dx收敛，证明：xf(x)dx=0.

证明含参广义积分F(a)=e-axsinxdx在(0,+∞)连续，但非一致收敛.

|x|dx = ______.

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

设f(x)在[0,1]上连续，f(x)dx=0,xf(x)dx=1，则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=______.

设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2f(t)dt=________.

积分中值定理的条件是__________，结论是____________.

f'(2x)dx=__________.