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考研2022年北京理工大学( )

证明:广义积分lnx/√x dx收敛.

易知,0为积分瑕点,而lnx/√x<0,x∈(0,1],所以积分收敛即绝对收敛.

x3/4∙|lnx/√x|=-lnx/x-1/4=⁡4x1/4=0

所以积分收敛.

考研2022年中国科学院( )

求证:J=ln⁡(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.

∵lim┬(x→0+ )⁡√x ln⁡(sinx)=0,

∴J收敛.

同理,ln⁡(cosx) dx收敛.

令t=π/2-x,则ln⁡(cosx) dx=-ln⁡(cos⁡(π/2-t)) dt=ln⁡(sint) dt=J

2J=[ln⁡(cosx)+ln⁡(sinx) ]dx=ln⁡(1/2 sin2x)dx=ln⁡(sin2x) dx-ln2 dx=ln⁡(sin2x) dx-π/2 ln2

令u=2x,有

ln⁡(sin2x) dx=1/2 ln⁡(sinu) du=1/2 ln⁡(sinu) du+1/2ln⁡(sinu)  du=ln⁡(sinu) du=J

所以,2J=J-π/2 ln2

即,J=-π/2 ln2

考研2022年中国科学院( )

设f∈[0,2π],证明:f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

根据Riemann引理:若f(x)在[a,b]上可积;g(x)以T为周期,在[0,T]上可积,则

f(x)g(nx) dx=1/T g(x)dx f(x)dx

取[a,b]=[0,2π],g(x)=|sinnx|,则g(x)以2π为周期,

f(x)g(nx) dx=f(x)|sinnx| dx

=1/2π |sinnx|dxf(x)dx=2/π f(x)dx

考研2022年中国科学院( )

讨论sinbx/xλ  dx(b≠0)的绝对收敛性和条件收敛性.

原积分I=∫0+∞sinbx/xλ  dx=I1+I2=∫01sinbx/xλ  dx+∫1+∞sinbx/xλ  dx.

①对I1

xλ-1 |sinbx/xλ |=⁡|sinbx/x|=|b|>0,

故当0<λ-1<1即1<λ<2时,I1绝对收敛.

对I2

当1<λ<2时,∵∫1+∞|sinbx/xλ |  dx≤∫1+∞1/xλ  dx收敛,

∴I2绝对收敛.

综上知,当1<λ<2时,I绝对收敛.

②当0<λ≤1时,I1收敛.

对于I2,由于|∫u1u2sinbxdx|=1/|b|  |cosbu1-cosbu2 |≤2/|b| 有界,且1/xλ 单调下降并趋于0,

由Dirichlet判别法知I2收敛.

由于∫1+∞|sinbx/xλ |dx≥∫1+∞sin^2⁡bx/xλ  dx=∫1+∞1/(2xλ ) dx-∫1+∞cos2bx/(2xλ ) dx发散,

∴此时I条件收敛.

③当λ≤0时,I2显然发散,故I发散.

④当λ≥2时,I1=∫01sinbx/xλ  dx,考虑x→0+时sinbx/xλ ~bx/xλ =b/xλ-1 ,由于此时λ-1≥1,得∫01b/xλ-1  dx发散,即I1发散,故I发散.

竞赛1995年南京大学( )

lim x->+∞√x dt/.

应用定积分的保向性,有

φ(x)=dt/dt/=1/

φ(x)=dt/dt/=1/

因为

lim x->+∞⁡√x  1/=1/√2,lim x->+∞√x  1/=1/√2

应用夹逼准则得

原式=lim x->+∞⁡√x φ(x)=1/√2.