易知，0为积分瑕点，而lnx/√x<0,x∈(0,1]，所以积分收敛即绝对收敛.

x^3/4∙|lnx/√x|=-lnx/x^-1/4=⁡4x^1/4=0

所以积分收敛.

∵lim┬(x→0⁺ )⁡√x ln⁡(sinx)=0，

∴J收敛.

同理，ln⁡(cosx) dx收敛.

令t=π/2-x，则ln⁡(cosx) dx=-ln⁡(cos⁡(π/2-t)) dt=ln⁡(sint) dt=J

2J=[ln⁡(cosx)+ln⁡(sinx) ]dx=ln⁡(1/2 sin2x)dx=ln⁡(sin2x) dx-ln2 dx=ln⁡(sin2x) dx-π/2 ln2

令u=2x,有

ln⁡(sin2x) dx=1/2 ln⁡(sinu) du=1/2 ln⁡(sinu) du+1/2ln⁡(sinu)  du=ln⁡(sinu) du=J

所以，2J=J-π/2 ln2

即，J=-π/2 ln2

根据Riemann引理：若f(x)在[a,b]上可积；g(x)以T为周期，在[0,T]上可积，则

f(x)g(nx) dx=1/T g(x)dx f(x)dx

取[a,b]=[0,2π],g(x)=|sinnx|，则g(x)以2π为周期，

f(x)g(nx) dx=f(x)|sinnx| dx

=1/2π |sinnx|dxf(x)dx=2/π f(x)dx

原积分I=∫₀^+∞sinbx/x^λ  dx=I₁+I₂=∫₀¹sinbx/x^λ  dx+∫₁^+∞sinbx/x^λ  dx.

①对I₁：

∵x^λ-1 |sinbx/x^λ |=⁡|sinbx/x|=|b|>0，

故当0<λ-1<1即1<λ<2时，I₁绝对收敛.

对I₂：

当1<λ<2时，∵∫₁^+∞|sinbx/x^λ |  dx≤∫₁^+∞1/x^λ  dx收敛，

∴I₂绝对收敛.

综上知，当1<λ<2时，I绝对收敛.

②当0<λ≤1时，I₁收敛.

对于I₂，由于|∫_u1^u2sinbxdx|=1/|b|  |cosbu₁-cosbu₂ |≤2/|b| 有界，且1/x^λ 单调下降并趋于0，

由Dirichlet判别法知I₂收敛.

由于∫₁^+∞|sinbx/x^λ |dx≥∫₁^+∞sin^2⁡bx/x^λ  dx=∫₁^+∞1/(2x^λ ) dx-∫₁^+∞cos2bx/(2x^λ ) dx发散，

∴此时I条件收敛.

③当λ≤0时，I₂显然发散，故I发散.

④当λ≥2时，I₁=∫₀¹sinbx/x^λ  dx，考虑x→0⁺时sinbx/x^λ ~bx/x^λ =b/x^λ-1 ，由于此时λ-1≥1，得∫₀¹b/x^λ-1  dx发散，即I₁发散，故I发散.

应用定积分的保向性，有

φ(x)=dt/≤dt/=1/

φ(x)=dt/≥dt/=1/

因为

⁡√x  1/=1/√2,√x  1/=1/√2

应用夹逼准则得

原式=⁡√x φ(x)=1/√2.