证明:广义积分lnx/√x dx收敛.
易知,0为积分瑕点,而lnx/√x<0,x∈(0,1],所以积分收敛即绝对收敛.
x3/4∙|lnx/√x|=-
lnx/x-1/4=
4x1/4=0
所以积分收敛.
求证:J=ln(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.
∵lim┬(x→0+ )√x ln(sinx)=0,
∴J收敛.
同理,ln(cosx) dx收敛.
令t=π/2-x,则ln(cosx) dx=
-ln(cos(π/2-t)) dt=
ln(sint) dt=J
2J=[ln(cosx)+ln(sinx) ]dx=
ln(1/2 sin2x)dx=
ln(sin2x) dx-
ln2 dx=
ln(sin2x) dx-π/2 ln2
令u=2x,有
ln(sin2x) dx=
1/2 ln(sinu) du=1/2
ln(sinu) du+1/2
ln(sinu) du=
ln(sinu) du=J
所以,2J=J-π/2 ln2
即,J=-π/2 ln2
设f∈[0,2π],证明:f(x)|sinnx|dx=2/π
f(x)dx.
根据Riemann引理:若f(x)在[a,b]上可积;g(x)以T为周期,在[0,T]上可积,则
f(x)g(nx) dx=1/T
g(x)dx
f(x)dx
取[a,b]=[0,2π],g(x)=|sinnx|,则g(x)以2π为周期,
f(x)g(nx) dx=
f(x)|sinnx| dx
=1/2π |sinnx|dx
f(x)dx=2/π
f(x)dx
讨论sinbx/xλ dx(b≠0)的绝对收敛性和条件收敛性.
原积分I=∫0+∞sinbx/xλ dx=I1+I2=∫01sinbx/xλ dx+∫1+∞sinbx/xλ dx.
①对I1:
∵xλ-1 |sinbx/xλ |=
|sinbx/x|=|b|>0,
故当0<λ-1<1即1<λ<2时,I1绝对收敛.
对I2:
当1<λ<2时,∵∫1+∞|sinbx/xλ | dx≤∫1+∞1/xλ dx收敛,
∴I2绝对收敛.
综上知,当1<λ<2时,I绝对收敛.
②当0<λ≤1时,I1收敛.
对于I2,由于|∫u1u2sinbxdx|=1/|b| |cosbu1-cosbu2 |≤2/|b| 有界,且1/xλ 单调下降并趋于0,
由Dirichlet判别法知I2收敛.
由于∫1+∞|sinbx/xλ |dx≥∫1+∞sin^2bx/xλ dx=∫1+∞1/(2xλ ) dx-∫1+∞cos2bx/(2xλ ) dx发散,
∴此时I条件收敛.
③当λ≤0时,I2显然发散,故I发散.
④当λ≥2时,I1=∫01sinbx/xλ dx,考虑x→0+时sinbx/xλ ~bx/xλ =b/xλ-1 ,由于此时λ-1≥1,得∫01b/xλ-1 dx发散,即I1发散,故I发散.
求√x
dt/
.
应用定积分的保向性,有
φ(x)=dt/
≤
dt/
=1/
φ(x)=dt/
≥
dt/
=1/
因为
√x 1/
=1/√2,
√x 1/
=1/√2
应用夹逼准则得
原式=√x φ(x)=1/√2.