大学数学-考研试题(武汉大学 2024年微积分基本公式)

计算题（2024年武汉大学）

用含参量积分求arctanx/x dx

答案解析

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大学数学

求曲面积分∬S(xy+yz+zx)dS其中S是z=被x²+y²=2ay截掉的部分.

以x=ty参数化曲线x²+y³=xy，求曲线所围区域的面积.

求极限 sin⁡(k/n)∙sin(k/n²)

设y=arcsinx/，求y(2023) (0).

求极限 (sinx-arctanx)/(tanx-arcsinx)

设二元函数f(x,y)在(x0,y0)的某邻域U内有定义，且在U内存在偏导数.证明：若偏导数fx(x,y)和fy(x,y)都在(x0,y0)可微，则fxy (x0,y0 )=fyx (x0,y0).

设f(x)在(-∞,+∞)上可导，且对任意实数x有f(x)=f(x+2k)=f(x+b)，其中k为正整数，b为正无理数，用Fourier级数理论证明f(x)为常数.

设f:[0,1]→(0,+∞)为连续函数，常数a≥1.证明：=a+1.

设α,β是任意非零实数，对正整数n，证明： =其中=α(α-1)⋯(α-k+1)/k!,=1.

对任意的x>0,y∈R，证明：xy≤xlnx-x+ey.

定积分

计算(1/t-[1/t]) dt

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

设函数f(x)=ecostdt,g(x)=et² dt，则【】

设I=|sinx|dx,k为整数，则I的值【】

5/(x4+3x2-4)dx__________.

证明：1/T sinatcosbt/t dt=

设函数f是(0,1]上无界的单调函数，且广义积分f(x) dx收敛，证明：1/n f((k-1)/n) =f(x)dx

求含参积分I(y)=e-x²cos⁡(2xy) dx.

计算e-1/4s s-3/2e-s ds

证明：(xlnx)ndx=(-1)nn!/(n+1)n+1 ，并利用此结论证明：x-x dx=1/nn .

微积分基本公式

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=__________.

理工数学Ⅱ微积分基本公式

(2x+3)/(x2-x+1)dx=__________.

计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

设f(x)在(-∞,+∞)内连续可导，且m≤f(x)≤M,a>0.(1)求1/(4a2)[f(t+a)-f(t-a)]dt;(2)求证：|1/2af(t)dt-f(x)|≤M-m.

|x|dx = ______.

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

积分2/(x2+2x+4) dx=__________.