大学数学-考研试题(经济数学Ⅲ 2024年定积分的概念与性质)

单项选择（2024年经济数学Ⅲ）

设I=|sinx|dx,k为整数，则I的值【】

A、只与a有关

B、只与k有关

C、与a,k均有关

D、与a,k均无关

答案解析

B

【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

设函数f(x)=(1+x)/(1+nx2n)，则f(x)【】

设总体X服从[0,θ]上的均匀分布，其中θ∈(0,+∞)为未知参数，X1,X2,⋯,Xn是来自总体X的简单随机样本，记X(n)=max⁡{X1,X2,⋯,Xn },Tc=cX(n)(1)求c，使得Tc是θ的无偏估计；(2)记h(c)=E(Tc-θ)²，求c使得h(c)最小.

已知数列{xn },{yn },{zn}满足x0=-1,y0=0,z0=2，且，记αn=，写出满足αn=Aαn-1的矩阵A，并求An及xn,yn,zn.

已知有向曲线L为球面x²+y²+z²=2x与平面2x-z-1=0交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分∫L(6xyz-yz²)dx+2x²zdy+xyzdz.

已知函数f(x,y)=x³+y³-(x+y)²+3，设T是曲面z=f(x,y)在点(1,1,1)处的切平面，D为T与坐标平面所围成的有界区域在xOy平面上的投影.(1)求T的方程；(2)求f(x,y)在D上的最大值和最小值.

已知平面区域D={(x,y)|√(1-y²)≤x≤1,-1≤y≤1}，计算∬Dx/√(x²+y²) dxdy.

设随机试验每次成功的概率为P，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为4/13，则P=______.

设实矩阵A=，若对任意实向量α=,β=,(αTAβ)²≤αTAα∙βTAβ都成立，则a的取值范围是________.

微分方程y'=1/(x+y)² 满足条件y(1)=0的解为__________.

已知函数f(x)=x+1，若f(x)=a0/2+ancosnx,x∈[0,π]，则n²sina2n-1 =______.

定积分

计算(1/t-[1/t]) dt

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

设函数f(x)=ecostdt,g(x)=et² dt，则【】

5/(x4+3x2-4)dx__________.

求定积分x(sinx)arctan⁡(e-x)/(1+cos2⁡x )dx

设连续函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=x,f(x)dx=0，则f(x)dx=______.

设x,t>0，则含参变量积分I(t)=(e-x -e-xt)/x dx=________.

设[a,+∞)上非负连续函数f可导，且具有连续导函数，若存在r>1，使xf'(x)/f(x)≤-r，证明：反常积分f(x)dx收敛.

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

利用δ函数计算下列积分(x2+1)δ(x2-2x-8)dx.

定积分的概念与性质

下列两个积分的大小关系是：dx_______dx.

设F(x)=esintsintdt，则F(x)【】

设I1=x/2(1+cosx) dx,I2=ln⁡(1+x)/(1+cosx) dx,I3=2x/(1+sinx) dx，则【】

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【】

设连续函数f(x)满足f(a+b-x)=f(x),∀x∈[a,b]，则积分xf(x)dx等于【】

南京大学定积分的概念与性质

设f∈[0,2π]，证明：f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

设f(x)在(0,1)可微，且有x2 f(x) dx=0，证明：存在θ∈(0,1)，使得f' (θ)=-f(θ)/θ.

设f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且g(x)取正值，由积分中值定理有f(t)g(t)dt=f(ξ)g(t) dt(a≤ξ≤x≤b)若f+' (a)存在且f+' (a)≠0，求(ξ-a)/(x-a).

当某公司推出一个新的社交软件时，公司的市场部门除了会关心该软件的活跃客的总人数随时间的变化，也会对客户群体的一些特征做具体的调研和分析。我们用n(t,x)表示客户的数量密度(以下简称密度)，这里t表示时间，而x表示客户对该社交软件的使用时长，那么在t时刻，对于0<x1<x2，使用时长介于x1和x2之间的客户数量为n(t,x)dx。我们假设，密度n(t,x)随着时间演化受以下几个因素的影响：假设1.当客户持续使用该社交软件时,他的使用时长随时间线性增长。假设2.客户在使用过程中，可能会停止使用，我们假设停止速率d(x)>0只跟使用时长x有关。假设3.新客户的来源有两个。①公司的宣传：单位时间内因此增加的人数是时间的函数，用c(t)表示。②老客户的宣传：老客户会主动向自己的同事、朋友等推荐使用该社交软件，推荐成功的速率跟客户的使用时长x有关，记作b(x)。假设如果在某一时刻，记为t=0时，密度函数是已知的，n(0,x)=n0 (x)。可以推导出，n(t,x)的时间演化满足如下的方程 (1)这里N(t)可解读为新客户的增加速率。我们假设b,d∈(0,∞)，即b(x)和d(x)正且(本质)有界。以下,我们先做一个简化假设：c(t)≡0，即新客户的增加只跟老客户的宣传有关。(i)问答题(10分)根据假设1和假设2，形式地推导出(1)中n(t,x)所满足的偏微分方程，需要在推导过程中指出模型假设和数学表达式之间的对应关系。再根据假设3，解释(1)中N(t)的定义的含义。(ii)问答题(10分)我们想要研究新客户的增加速率N(t)和推荐成功速率b(x)之间的关系。为此,请推导出一个N(t)所满足的方程，且方程中只包含N(t),n0 (x),b(x),d(x)，而不包含n(t,x)。并证明，N(t)满足如下估计|N(t)|≤‖b‖∞|n0 (x)|dx,这里‖∙‖∞表示L∞范数。(iii)证明题(10分)最后，我们想要研究，在充分长的时间之后，数量密度函数n(t,x)有什么渐近的趋势。由于客户总人数可能一直在增加，所以我们不方便直接研究数量密度函数n(t,x)，而更应该去看一个重整化的密度函数。为此，我们首先假设如下的特征值问题有唯一解(λ0,φ(x))：并且它的对偶问题也有唯一的解ψ(x)：然后，我们定义重整化密度n ̃(t,x)≔n(t,x)e-λ0 t。证明，对于任意凸函数H:R+→R+满足H(0)=0，我们有d/dt ψ(x)φ(x)H()dx≤0,∀t≥0,并证明ψ(x)n(t,x))dx=eλ0t ψ(x) n0 (x)dx.