大学数学-考研试题(复旦大学 2023年定积分的换元法)

填空题（2023年复旦大学）

设x,t>0，则含参变量积分I(t)=(e^-x -e^-xt)/x dx=________.

答案解析

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讨论

大学数学

在Oxy平面上给定点O(0,0),A(1,0)，动点P(x,y)在直线y=x+1上,则当P(x,y)=________时，∠OPA取到最大.

设矩阵A满足：对任意x1,x2,x3均有A=(1)求A.(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A，使得P-1AP=Λ.

设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2+y2-xy=1,x2+y2-xy=2与直线y=√3 x,y=0围成，计算∬D1/(3x2+y2 ) dxdy.

已知平面区域D={(x,y)|0≤y≤1/(x),x≥1}.(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

求函数f(xy)=xecosy+x2/2的极值.

设曲线L:y=y(x)(x>e)经过点(e2,0)，L上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x)；(Ⅱ)在L上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积最小，并求此最小面积.

已知线性方程组有解，其中a,b为常数.若=4，则=__________.

曲线3x3=y5+2y3在x=1对应点处的法线斜率为__________.

设函数z=z(x,y)由ez+xz=2x-y确定，则∂2z/∂x2|(1,1)=________.

曲线y=dt的弧长为__________.

定积分的换元法

若f(x)为已知连续函数，I=tf(tx)dx，其中t>0,s>0，则I的值【】

e√x =__________.

设f(x)=，求f(x-2)dx.

已知f(2)=1/2,f'(2)=0及f(x)dx=1，求x2f''(2x)dx.

xdx=__________.

设f(x)连续，φ(x)=f(xt)dt，且f(x)/x=A(A为常数)，求φ'(x)并讨论φ'(x)在x=0处的连续性.

lnx/√x dx=__________.

求定积分x(sinx)arctan⁡(e-x)/(1+cos2⁡x )dx

设连续函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=x,f(x)dx=0，则f(x)dx=______.

定积分

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3f(x)dx=f(0)，证明：在(0,1)内存在一点c，使f'(c)=0.

设x≥-1，求(1-|t|)dt.

设f(x)在(-∞,+∞)内连续可导，且m≤f(x)≤M,a>0.(1)求1/(4a2)[f(t+a)-f(t-a)]dt;(2)求证：|1/2af(t)dt-f(x)|≤M-m.

函数F(x)=(2-1/√t) dt(x>0)的单调减少区间为__________.

设f(x)=sint2dt,g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的【】

设M=sinx/(1+x2)cos4⁡x dx,N=(sin3x+cos4⁡x )dx,P=(x2sin3⁡x-cos4⁡x)dx，则有【】

设，求dy/dx,(d2y)/(dx2)在t=的值.

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

d/dx xcost2dt=______________.

tsint dt=__________.