大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2023年隐函数及参数方程相关导数)

填空题（2023年理工数学Ⅱ）

设函数z=z(x,y)由e^z+xz=2x-y确定，则∂²z/∂x²|_(1,1)=________.

答案解析

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讨论

大学数学

曲线y=dt的弧长为__________.

二次型f(x1,x2,x3 )=(x1+x2 )2+(x1+x3 )2-4(x2-x3 )2的规范型为【】

设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为M的伴随矩阵，则=【】

设函数f(x)=(x2+a) ex，若f(x)没有极值点，但曲线y=f(x)有拐点，则a的取值范围是【】

若函数f(a)=1/(x(lnx)a+1) dx在a=a0处取得最小值，则a0=【】

已知{xn },{yn}满足x1=yn=1/2,xn+1=sinxn,yn+1=yn2 (n=1,2,⋯) ，则当n→∞时【】

函数f(x)=的一个原函数为【】

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(Ⅰ)求X与Y的方差；(Ⅱ)X与Y是否相互独立；(Ⅲ)求Z=X²+Y²的概率密度.

已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).

设函数f(x)在[-a,a]上具有二阶连续导数，证明：(Ⅰ)若f(x)=0，则存在ξ∈(-a,a)，使得f''(ξ)=1/a² [f(a)+f(-a)]；(Ⅱ)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在η∈(-a,a)，使得|f''(η)|≥1/2a²|f(a)-f(-a)|.

隐函数及参数方程相关导数

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan⁡(2xy)=1确定，则 = ______.

设，求dy/dx,(d2 y)/(dx2 ).

设，则(d2 y)/(dx2 )=__________.

由方程xyz+=√2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=____________.

设函数y=y(x)由方程ex+y+cos⁡(xy)=0确定，则dy/dx=__________.

已知函数y=y(x)由方程x2+xy+y3=3确定，则y''(1)=__________.

已知，求d2y/dx2.

已知，求 dy/dx|t=0,d2y/dx2|t=0.

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).

导数与微分

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】

设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=__________.

已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.

函数，在 x=0处【】

若y=cos , = __________.

一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？

y=x1/x，则dy/dx=__________。

设f(x)为可导函数且满足(f(1)-f(1+x))/2x=1，则y=f(x)在(1,f(1))处的斜率为【】

已知z=arctan (x+y)/(x-y)，求dz.