大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1992年隐函数及参数方程相关导数)

填空题（1992年理工数学Ⅰ）

设函数y=y(x)由方程e^x+y+cos⁡(xy)=0确定，则dy/dx=__________.

答案解析

(ysin(xy)-e^x+y)/(e^x+y-xsin(xy))

讨论

大学数学

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=，求随机变量Z=X+2Y的分布函数.

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1.

已知α1=(1,0,2,3),α2=(1,1,3,5),α3=(1,-1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8)及β=(1,1,b+3,5).(1) a,b为何值时，β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合？(2) a,b为何值时，β有α1,α2,α3,α4的唯一线性表示？并写出该表示式.

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3f(x)dx=f(0)，证明：在(0,1)内存在一点c，使f'(c)=0.

将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数1/n2 的和.

求过曲线y=-x2+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x,y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？

求微分方程y''+2y'+y=xex的通解（一般解）.

求微分方程x dy/dx=x-y满足条件 y|x=√2 =0的解.

求∫dx/(a2sin2⁡x+b2cos2⁡x ).( a,b是不全为零的非负常数)

隐函数及参数方程相关导数

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

由方程xyz+=√2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=____________.

设，则(d2 y)/(dx2 )=__________.

设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan⁡(2xy)=1确定，则 = ______.

设，求dy/dx,(d2 y)/(dx2 ).

已知函数y=y(x)由方程x2+xy+y3=3确定，则y''(1)=__________.

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).

设函数y=f(x)由确定，则【】

已知，求 dy/dx|t=0,d2y/dx2|t=0.

设函数z=z(x,y)由ez+xz=2x-y确定，则∂2z/∂x2|(1,1)=________.

导数与微分

一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？

设f(x)为可导函数且满足(f(1)-f(1+x))/2x=1，则y=f(x)在(1,f(1))处的斜率为【】

已知z=arctan (x+y)/(x-y)，求dz.

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).

设f(x)在[a,b]上单调，证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.

已知f'(3)=2，则(f(3-h)-f(3))/2h=________.

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】

设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=__________.