大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2022年隐函数及参数方程相关导数)

填空题（2022年理工数学Ⅱ）

已知函数y=y(x)由方程x²+xy+y³=3确定，则y''(1)=__________.

答案解析

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讨论

大学数学

((1+ex)/2)cotx=__________.

设矩阵A=,b=，则线性方程组Ax=b解的情况为【】

设A为3阶矩阵，A=，则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是【】

设p为常数，若反常积分lnx/(xp(1-x)1-p) dx收敛，则p的取值范围是【】

设函数f(t)连续，令F(x,y)=(x-y-t) f(t)dt，则【】

设函数f(x)在x=x0处有2阶导数，则【】

理工数学Ⅱ微积分基本公式

当x→0时，α(x),β(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题①若α(x)~β(x)，则α2 (x)~β2 (x)②若α2 (x)~β2 (x)，则α(x)~β(x)③若α(x)~β(x)，则α(x)-β(x)=o(α(x))④若α(x)-β(x)=o(α(x))，则α(x)~β(x)其中所有真命题的序号是【】

设X1,X2,…,Xn为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，Y1,Y2,…,Ym为来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中θ(θ>0)是未知参数.利用样本X1,X2,…,Xn,Y1,Y2,…,Ym求θ的最大似然估计量θ ̂，并求D(θ ̂).

已知二次型f(x1,x2,x3 )=ijxixj.(1)求二次型矩阵.(2)求正交矩阵Q，使得二次型经正交变换x=Qy化为标准形.(3)求f(x1,x2,x3)=0的解.

隐函数及参数方程相关导数

设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan⁡(2xy)=1确定，则 = ______.

设，求dy/dx,(d2 y)/(dx2 ).

设，则(d2 y)/(dx2 )=__________.

由方程xyz+=√2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=____________.

设函数y=y(x)由方程ex+y+cos⁡(xy)=0确定，则dy/dx=__________.

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).

设函数y=f(x)由确定，则【】

已知，求 dy/dx|t=0,d2y/dx2|t=0.

设函数z=z(x,y)由ez+xz=2x-y确定，则∂2z/∂x2|(1,1)=________.

导数与微分

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(x)=0是F(x)在x=0处可导的【】

设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.

设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【】

已知y=arcsine-√x，求y'.

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

求由方程2y-x=(x-y)ln⁡(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为【】

若y=cos , = __________.

一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？

y=x1/x，则dy/dx=__________。