大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1987年隐函数及参数方程相关导数)

计算题（1987年理工数学Ⅱ）

设，求dy/dx,(d² y)/(dx² ).

答案解析

dy/dx=y' (t)/x' (t)=5sint/(5(1-cost))=sint/(1-cost).d2 y/dx2 =d/dx (dy/dx)=d/dt(dy/dx)dt/dx =(cost(1...

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讨论

大学数学

求(1/x-1/(ex-1)).

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】

函数f(x)=xsinx

f(x)=|xsinx| ecosx,-∞<x<+∞是【】

f'(2x)dx=__________.

∫f'(x)dx=__________.

((n-2)/(n+1))n=________.

积分中值定理的条件是__________，结论是____________.

曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是__________；法线方程是____________.

设y=ln⁡(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.

隐函数及参数方程相关导数

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan⁡(2xy)=1确定，则 = ______.

已知函数y=y(x)由方程x2+xy+y3=3确定，则y''(1)=__________.

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).

设函数y=f(x)由确定，则【】

已知，求 dy/dx|t=0,d2y/dx2|t=0.

设函数z=z(x,y)由ez+xz=2x-y确定，则∂2z/∂x2|(1,1)=________.

已知，求d2y/dx2.

设函数y=y(x)由方程ex+y+cos⁡(xy)=0确定，则dy/dx=__________.

由方程xyz+=√2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=____________.

导数与微分

已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.

若y=cos , = __________.

一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？

设f(x)为可导函数且满足(f(1)-f(1+x))/2x=1，则y=f(x)在(1,f(1))处的斜率为【】

已知z=arctan (x+y)/(x-y)，求dz.

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

设f(x)在[a,b]上单调，证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.