大学数学-考研试题(重庆大学 2003年复合函数求导法则)

计算题（2003年重庆大学）

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

答案解析

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讨论

函数的求导法则

y=x1/x，则dy/dx=__________。

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

设f(t)=⁡t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.

已知y=arcsine-√x，求y'.

已知y=1+xexy，求 y'|x=0及y''|x=0.

设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.

设y=ln⁡(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.

设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

重庆大学数列极限

导数与微分

若y=cos , = __________.

一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？

设f(x)为可导函数且满足(f(1)-f(1+x))/2x=1，则y=f(x)在(1,f(1))处的斜率为【】

已知z=arctan (x+y)/(x-y)，求dz.

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为【】

复合函数求导法则

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

设f(x)=nx(1-x)n（n为自然数），求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求：F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段（t:0→π/4）所作的功.

如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

设f(x)在[0,1]上连续，f(x)dx=0,xf(x)dx=1，则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.