大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1988年求导公式)

计算题（1988年理工数学Ⅱ）

已知y=1+xe^xy，求 y'|_x=0及y''|_x=0.

答案解析

两边对x求导得y'=exy+xexy(y+xy') ①将x=0,y=1代入得 y' |x=0=1.在①式两边再对x求导，得y''=exy(y+xy' )+exy(y+xy' )+xexy(y+xy'...

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讨论

求导公式

y=x1/x，则dy/dx=__________。

设y=ln⁡(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.

设f(t)=⁡t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.

设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.

∫f'(x)dx=__________.

求∫dx/(a2sin2⁡x+b2cos2⁡x ).( a,b是不全为零的非负常数)

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan⁡(2xy)=1确定，则 = ______.

设矩阵A=仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a,b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.

设y=ln⁡(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.

函数的求导法则

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

已知y=arcsine-√x，求y'.

设，求dy/dx,(d2 y)/(dx2 ).

设函数f(x)=ax-blnx(a>0)有两个零点，则b/a的取值范围是【】

设函数f(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则【】

设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)，若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出，则【】

已知f(x)=，求f(x)的凹凸性及渐近线.

曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是__________；法线方程是____________.

导数与微分

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

若y=cos , = __________.

一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？

设f(x)为可导函数且满足(f(1)-f(1+x))/2x=1，则y=f(x)在(1,f(1))处的斜率为【】

已知z=arctan (x+y)/(x-y)，求dz.

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).