大学数学-竞赛试题(南京大学 1996年隐函数及参数方程相关导数)

计算题（1996年南京大学）

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

答案解析

曲线ρ=α(1+cosθ)化为参数方程为x=α(1+cosθ) cosθ，y= α(1+cosθ)sinθ其斜率为k1 = = = 曲线ρ=α(1-cosθ)化为参数方程为x=α(1-cosθ) cosθ，y= α(1-cosθ)sinθ其斜率为k2 = = = 再求两曲线...

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讨论

大学数学

已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.

设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=__________.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

考研无穷小与无穷大

设a≠，则ln= .

隐函数及参数方程相关导数

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).

设函数y=f(x)由确定，则【】

已知函数y=y(x)由方程x2+xy+y3=3确定，则y''(1)=__________.

已知，求d2y/dx2.

已知，求 dy/dx|t=0,d2y/dx2|t=0.

设函数z=z(x,y)由ez+xz=2x-y确定，则∂2z/∂x2|(1,1)=________.

设函数y=y(x)由方程ex+y+cos⁡(xy)=0确定，则dy/dx=__________.

设，则(d2 y)/(dx2 )=__________.

由方程xyz+=√2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=____________.

设，求dy/dx,(d2 y)/(dx2 ).

导数与微分

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点的个数是【】

设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处【】

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设函数f:R→R可微且导数有界，则f【】

若y=f(x)，有f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(x)=0是F(x)在x=0处可导的【】

设tany=x+y，则dy=__________.

设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【】

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】