大学数学-考研试题(北京理工大学 2022年隐函数及参数方程相关导数)

计算题（2022年北京理工大学）

已知，求d²y/dx².

答案解析

根据参数方程求导公式有：

dy/dx=(2t-1)/2e^2t

d²y/dx²=[d/dt((2t-1)/(2e^2t ))]/(dx/dt)=(1-t)/e^4t

讨论

隐函数及参数方程相关导数

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan⁡(2xy)=1确定，则 = ______.

设，求dy/dx,(d2 y)/(dx2 ).

设，则(d2 y)/(dx2 )=__________.

由方程xyz+=√2所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,-1)处的全微分dz=____________.

设函数y=y(x)由方程ex+y+cos⁡(xy)=0确定，则dy/dx=__________.

已知函数y=y(x)由方程x2+xy+y3=3确定，则y''(1)=__________.

设函数y=f(x)由确定，则【】

已知，求 dy/dx|t=0,d2y/dx2|t=0.

设函数z=z(x,y)由ez+xz=2x-y确定，则∂2z/∂x2|(1,1)=________.

高阶导数

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f' (x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n) (x)等于【】

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【】

已知函数f(x)=esinx+e-sinx，则f'''(2π)=__________.

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

导数与微分

设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=__________.

已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.

函数，在 x=0处【】

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

设f(x)在[a,b]上单调，证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.

设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.

已知f'(3)=2，则(f(3-h)-f(3))/2h=________.

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】