大学数学-考研试题(经济数学Ⅲ 2022年高阶导数)

填空题（2022年经济数学Ⅲ）

已知函数f(x)=e^sinx+e^-sinx，则f'''(2π)=__________.

答案解析

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讨论

大学数学

积分2/(x2+2x+4) dx=__________.

设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X\Y 0 1 2-1 0.1 0.1 b1 a 0.1 0.1若事件{max⁡(X,Y)=2}与事件{min⁡(X,Y)=1}相互独立，则Cov(X,Y)=【】

设随机变量序列X1,X2,…,Xn,…独立同分布，且X1的概率密度为f(x)=，则当n→∞时，1/n Xi2 依概率收敛于【】

设随机变量X~N(0,4)，随机变量Y~B(3 ,1/3)，且X与Y不相关，则D(X-3Y+1)=【】

已知an=-(-1)n/n(n=1,2,…)，则{an}【】

已知二次型f(x1,x2,x3 )=3x12+4x22+3x32+2x1 x3，(1)求正交变换x=Qy将f(x1,x2,x3)化为标准形；(2)证明minx≠0⁡f(x)/(xT x)=2.

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设A为3阶矩阵，交换A的第2行和第3行，再将第2列的-1倍加第1列，得到矩阵，则A-1的迹tr(A-1)=__________.

高阶导数

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f' (x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n) (x)等于【】

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【】

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为Q=12x1/2 y1/6，该产品的销售单价P与Q的关系为P=1160-1.5Q，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.

导数与微分

y=x1/x，则dy/dx=__________。

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.

设y=ln⁡(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.

设f(t)=⁡t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.

已知y=1+xexy，求 y'|x=0及y''|x=0.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(x)=0是F(x)在x=0处可导的【】

设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.

设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【】

已知y=arcsine-√x，求y'.