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考研2022年北京理工大学( )

已知y=arctanx.

(1)证明:2xy'+(1+x2 )y''=0;

(2)求y(n).

(1)由y=arctanx,可得y'=1/(1+x2),y''=(-2x)/(1+x2)2,

∴2xy'+(1+x2) y''=2x∙1/(1+x2)+(1+x2)∙(-2x)/(1+x2)2=0.

(2)由(1)得f' (x)=1/(1+x2)=1/2i (1/(x-i)-1/(x+i)),

∴f(n) (x)=1/2i [(1/(x-i))(n-1)-(1/(x+i))(n-1) ]=((-1)n-1(n-1)!)/2i [1/(x-i)n -1/(x+i)n ]

当n=2m时,由二项式定理得

(x+i)n-(x-i)n=Cnk xn-k [ik-(-i)k ]

当n=2m+1时,由二项式定理得

(x+i)n-(x-i)n=Cnk xn-k [ik-(-i)k ] =2C2m+12k+1 x2m-2k i2k+1 =2i(-1)k C2m+12k+1 x2m-2k

所以f(n) (x)=

考研2022年北京理工大学( )

已知,求d2y/dx2.

根据参数方程求导公式有:

dy/dx=(2t-1)/2e2t 

d2y/dx2=[d/dt((2t-1)/(2e2t ))]/(dx/dt)=(1-t)/e4t 

考研2022年中国科学技术大学( )

设函数f:R→R在R/{x0}上有二阶导数,满足:当x∈(-∞,x0)时f' (x)<0<f''(x),而当x∈(x0,+∞)时,f' (x)>0>f''(x),证明:f在x0处不可微.

考研2022年中国科学技术大学( )

如果y=(x+t)dt,则 dy/dx|x=0等于【 】

A、5

B、0

C、2

D、-1

考研2022年中国科学技术大学( )

设函数f:R→R可微且导数有界,则f【 】

A、有界

B、单调递增

C、一致连续

D、单调递减