大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2025年函数的微分)

单项选择（2025年理工数学Ⅰ）

设函数f(x)在区间[0,+∞)上可导，则【】

A、当f(x)存在时，f`(x)存在

B、当f`(x)存在时，f(x)存在

C、当f(t)dt)/x存在时，f(x)存在

D、当f(x)存在时，f(t)dt)/x存在

答案解析

D

【解析】

解答过程见word版

讨论

函数的微分

设函数f在R上可微，且满足对任意x∈R，有f(x+1)-f(x)=f'(x)以及f' (x)=1，证明：存在常数C，使得f(x)=x+C.

设p(x)=x-x²，记[x]为取整函数，即不超过x的最大整数，又设f(x)是二阶连续可微函数，对任意非负整数k，证明：f(x)dx=(f(k+1)+f(k))/2-1/2 f''(x)p(x-[x]) dx

若y=f(x)，有f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

设tany=x+y，则dy=__________.

求由方程2y-x=(x-y)ln⁡(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.

如果y=(x+t)dt，则 dy/dx|x=0等于【】

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为【】

若y=cos , = __________.

一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟3立方米匀速卸沙，问当圆锥达到3米高时，卸了多少时间，此时圆锥高h的增长速度为多少？

若函数y=f(x)可导，且f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

变限积分

设函数f(x)=sint3dt,g(x)=f(t)dt，则【】

设函数f(x)=ecostdt,g(x)=et² dt，则【】

5/(x4+3x2-4)dx__________.

计算e-1/4s s-3/2e-s ds

设f(x)连续，则d/dx tf(x2-t2)dt等于【】

设x≥-1，求(1-|t|)dt.

函数F(x)=(2-1/√t) dt(x>0)的单调减少区间为__________.

设，求dy/dx,(d2y)/(dx2)在t=的值.

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

d/dx sin⁡(x-t)2dt=________.

导数与微分

设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且f(x)=0，则【】

设，则d²y/dx²|t=1=________.

设函数y=f(x)由参数方程确定，则⁡x[f(2+2/x)-f(2)]=【】

已知函数f(x)=x²(ex+1)，则f(5)(1)=___________.

设函数f(x)在区间(-1,1)上有定义，且f(x)=0，则【】

若f(x)=x+lnx,g(x)是f(x)的反函数，则g'' (x)=________.

证明：(f(x0+h)-f(x0-k))/(k+h)存在的充要条件为f在x0处可导.

给定方程x²+y + sin(xy)=0.(1) 说明在点(00)的充分小的邻域内，此方程确定唯一的可导的函数 y=y(x)，使得 y(0)= 0，并求出 y=y(x)的导函数表达式.(2) 判断在点(0,0)的充分小的邻域内，此方程是否确定唯一的函数 x =x(y)，使得x(0)=0，说明理由.

设y=arcsinx/，求y(2023) (0).

设f(x)在(0,+∞)上三次可导，且f(x)与f'''(x)均存在，证明：⁡f' (x)=⁡f'' (x)=f'''(x)=0