大学数学-考研试题(西安交通大学 2024年反函数求导法则)

填空题（2024年西安交通大学）

若f(x)=x+lnx,g(x)是f(x)的反函数，则g'' (x)=________.

答案解析

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讨论

高阶导数

已知函数f(x)=x²(ex+1)，则f(5)(1)=___________.

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【】

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f' (x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n) (x)等于【】

已知函数f(x)=esinx+e-sinx，则f'''(2π)=__________.

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

函数的求导法则

设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.

已知y=arcsine-√x，求y'.

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

y=x1/x，则dy/dx=__________。

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.

设y=ln⁡(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.

设f(t)=⁡t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.

已知y=1+xexy，求 y'|x=0及y''|x=0.

求极限(exsinx-x(1+x))/x³=______.

反函数求导法则

求(lnn-[lnn])=______.

求级数sinnx/n!=________.

若f(x)=|x|α，求(∂² f)/(∂x1² )+(∂² f)/(∂x2² )+(∂² f)/(∂x3² )+⋯+(∂² f)/(∂xn² )=________.

若f(x)=，求在(0,0)处(cosα,sinα)'的方向导数为________.

求不定积分∫sin⁡(lnx)dx=________.

求x²+y²=2az和x²+xy+y²=a²的交线的最大值为________.

若D是由(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1),(0,0,2),(0,2,2),(2,2,2)组成的R³的一个棱台，则∬D1/(y²+z²) dydz=________.

计算曲面积分∬Sxdydz+ydxdz+zdxdy=________，其中S:x²/a² +y²/b² +z²/c² ≤1，方向向外侧.

设数列{xn}满足xmn≤xm+xn,xn>0，证明：存在.

证明：(f(x0+h)-f(x0-k))/(k+h)存在的充要条件为f在x0处可导.