大学数学-考研试题(西安交通大学 2024年定积分的几何应用)

填空题（2024年西安交通大学）

求x²+y²=2az和x²+xy+y²=a²的交线的最大值为________.

答案解析

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讨论

大学数学

求不定积分∫sin⁡(lnx)dx=________.

若f(x)=，求在(0,0)处(cosα,sinα)'的方向导数为________.

若f(x)=|x|α，求(∂² f)/(∂x1² )+(∂² f)/(∂x2² )+(∂² f)/(∂x3² )+⋯+(∂² f)/(∂xn² )=________.

求级数sinnx/n!=________.

若f(x)=x+lnx,g(x)是f(x)的反函数，则g'' (x)=________.

求(lnn-[lnn])=______.

求极限(exsinx-x(1+x))/x³=______.

设矩阵A=,B=，向量α=,β=.(1)证明：方程组Ax=α的解均为方程组Bx=β的解；(2)若方程组Ax=α与方程组Bx=β不同解，求a的值.

设函数z=z(x,y)由方程z+ex-yln(1+z²)=0确定，求(∂²z/∂x²+∂²z/∂y²)|(0,0).

设t>0，平面有界区域D由曲线y=xe-2x与直线x=t,x=2t及x轴围成，D的面积为S(t)，求S(t)的最大值.

定积分的应用

某物体以速度v(t)=t+ksinπt做直线运动，若它从t=0到t=3的时间段内平均速度是5/2，则k=__________.

设t>0，平面有界区域D由曲线y=√x ex与直线x=t,x=2t及x轴围成，D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为V(t)，求V(t)的最大值.

设实变量的复值函数u(x,t)满足Cauchy初值问题iut+uxx=0,-∞<x<+∞,t>0，其中i=√(-1)，u(x,0)=f(x)为已知函数且满足|f(x)|2 dx=1.(1)求证对任意的t>0，有|u(x,t)|2 dx≡1.(2)求证此问题在L2空间中的解是唯一的.(3)求谐波解u=aei(kx-ωt)(其中，a,k,ω均与自变量x,t无关且k为实数)的色散关系，讨论谐波是否耗散，是否色散，求出谐波的相速度和群速度（以k表达）.(4)用Fourier变换法求出解的积分表达式.

由曲线y=lnx与两条直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积是______.

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为k/r2 (k>0，为常数，r为质点A与M之间的距离)，质点M沿曲线y=自B(2,0)运动到O(0,0)，求在此运动过程中质点A对质点M的引力所做的功.

求由曲线y=1+sinx与直线y=0,x=0,x=π围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积V.

求过曲线y=-x2+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x,y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？

由曲线y=sin3/2⁡x (0≤x≤π)与x轴围成的平面绕x轴旋转而的旋转体的体积为【】

双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为【】

曲线y=cosx(-π/2≤x≤π/2)与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为【】

定积分的几何应用

曲线y=dt的弧长为__________.

已知平面区域D={(x,y)|0≤y≤1/(x),x≥1}.(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

设f(x)=t|t|dt.求曲线y=f(x)与x轴所围成封闭图形的面积.

点A位于半径为a的圆周内部，且离圆心的距离为b(0≤b<a)，从点A向圆周上所有点的切线作垂线，求所有垂足所围成的图形的面积.

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价；(2)若对上式中的积分用辛普生公式，试导出相应的计算格式；并针对初值问题给出计算格式。

从原点向抛物线y=x2+x+1引两条切线，求此二切线与抛物线围成的面积。

试求由曲线y=ex下方，经过坐标原点作y=ex的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。

求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.

(1)设y=φ(x)(x≥0)是严格增加的连续函数，φ(0)=0,x=ψ(y)是它的反函数，证明：φ(x) dx+ψ(y)dy≥ab,(a,b≥0)，并给出上述不等式的几何意义（要求图示）.(2)用上述不等式证明：ab≤ap/p+bq/q,a,b>0,p>1,1/p+1/q=1.

求由曲面(x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 )2=x2/a2 +y2/b2 (a,b,c>0)所围成的空间区域的体积.