问答题(2024年经济数学Ⅲ

设t>0,平面有界区域D由曲线y=xe-2x与直线x=t,x=2t及x轴围成,D的面积为S(t),求S(t)的最大值.

答案解析

解答过程见word版

讨论

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是__________.

某产品的价格函数为p=,(p为单价,单位:万元;Q为产量,单位:件),总成本函数为C=150+5Q+0.25Q²(万元),则经营该产品可获得的最大利润为______(万元).

若函数f(a)=1/(x(lnx)a+1) dx在a=a0处取得最小值,则a0=【 】

设函数f(x)=(x2+a) ex,若f(x)没有极值点,但曲线y=f(x)有拐点,则a的取值范围是【 】

设曲线L:y=y(x)(x>e)经过点(e2,0),L上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x);(Ⅱ)在L上求一点,使该点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积最小,并求此最小面积.

在Oxy平面上给定点O(0,0),A(1,0),动点P(x,y)在直线y=x+1上,则当P(x,y)=________时,∠OPA取到最大.

去年,张师傅因为多旋圈面爆红,今年他来到了达摩院给扫地僧做面。某天,软件工程师小李跟张师傅吐槽工作。小李主要硏究和设计算法用于调节各种产品的参数。这样的参数一般可以通过极小化Rn上的某个损失函数f求得。在小李最近的一个项目中,这个损失函数是另外一个课题组提供的;出于安全考虑和技术原因,该课题组难以向小李给出此函数的内部细节,而只能提供一个接口用于计算任意x∈Rn处的函数值f(x)。所以,小李必须仅基于函数值来极小化f。而且,每次计算f的值都消耗不小的计算资源。好在该问题的维度n不是很高(10左右)。另外,提供函数的同事还告知小李不妨先假设f是光滑的。这个问题让张师傅想起了自己收藏的一台古董收音机。要在这台收音机上收听一个节目,你需要小心地来回拧一个调频旋钮,同时注意收音效果,直到达到最佳。在这过程中,没有人确切地知道旋钮的角度和收音效果之间的定量关系是什么。张师傅和小李意识到,极小化f不过就是调节一台有多个旋钮的机器:想象x的每一个分量由一个旋钮控制,而f(x)表示这台机器的某种性能,只要我们来回调整每个旋钮,同时监视f的值,应该就有希望找到最佳的x。受此启发,两人一起提出了极小化f的一个迭代算法,并命名为“自动前后调整算法”( Automated Forward/Backward Tuning,AFBT,算法1)。在第k次迭代中,AFBT通过前后调整xk的单个分量得2n个点{xk±tk ei:i=1,…,n},其中tk为步长;然后,令yk为这些点中函数值最小的一个,并检査yk是否使f充分减小;若是,取xk+1=yk,并将步长增倍;否则,令xk+1=xk并将步长减半。在算法1中,ei表示Rn中的第i个坐标向量,它的第i个分量为1,其余皆为0; I(∙) 为指示函数——若f(xk )-f(yk)至少为tk之平方,则I[f(xk )-f(yk )≥tk2]取值为1,否则为0。1自动前后调整算法(AFBT)输入x0∈Rn,t0>0。对k=0,1,2,…,执行以下循环。1:yk≔argmin{f(y):y=xk±tk ei,i=1,…,n} #计算损失函数。2:sk≔I[f(xk )-f(yk )≥tk2] #是否充分下降?是:sk=1;否:sk=0。3:xk+1≔(1-sk ) xk+sk yk #更新迭代点。4:tk+1≔2(2sk-1 ) tk #更新步长。sk=1:步长增倍;sk=0:步长减半。现在,我们对损失函数f:Rn→R作出如下假设。假设1. f为凸函数,即对任何x,y∈Rn与α∈[0,1]都有f((1-α)x+αy)≤(1-α)f(x)+αf(y).假设2. f在Rn上可微且∇f在Rn上 L-Lipschitz连续。假设3. f的水平集有界,即对任意λ∈R,集合{x∈Rn:f(x)≤λ}皆有界。基于假设1与假设2,可以证明〈∇f(x),y-x〉≤f(y)-f(x)≤〈∇f(x),y-x〉+L/2 ‖x-y‖2对任何x,y∈Rn成立;假设1与假设3则保证f在Rn上取到有限的最小值f*。凸函数的更多性质可参考任何一本凸分析教科书。证明题(20分) 在假设1-3下,对于AFBT,证明f(xk)=f*.

某厂家生产一种产品同时在两个市场上销售,价格分别为P1和P2,销量分别为q1和q2,需求满足下列关系:q1=24-0.2P1;q2=10-0.05P2.成本函数为:C=35+40(q1+q2)试问厂家如何确定两个市场的价格才能使获利最大?最大为多少?

某企业生产某种商品,年产x件时总成本为c(x)=c+dx,年需求量是价格p的线性函数为a-bp(其中a,b,c,d均为常数),试求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性。

已知二元函数z=z(x,y):z(x,y)=1/4[4(tgx+tgy)2 - 12tgx∙tgy - 3],试求:二元函数z=z(x,y)在正方形区域:D ̅:-π/4≤x≤π/4,-π/4≤y≤π/4 里的最大值zmax=?和最小值zmin=?,并指出二元函数z=z(x,y)在闭区域D ̅里何点处取得最大值zmax和最小值zmin?