大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1989年定积分的几何应用)

问答题（1989年理工数学Ⅱ）

设抛物线y=ax²+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

答案解析

因为曲线过原点，故c=0.由题设，有1/3=(ax2+bx) dx=a/3+b/2 即b=2/3(1-a).V=(ax2+bx)2 dx=π(a2 x4+2abx3+b2 x2) dx = π(a2/5 x5+ab/2 x4+b2/3 x3)=π(a2/5+ab/2+b2/3) =π[a2/5+...

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讨论

定积分的应用

设实变量的复值函数u(x,t)满足Cauchy初值问题iut+uxx=0,-∞<x<+∞,t>0，其中i=√(-1)，u(x,0)=f(x)为已知函数且满足|f(x)|2 dx=1.(1)求证对任意的t>0，有|u(x,t)|2 dx≡1.(2)求证此问题在L2空间中的解是唯一的.(3)求谐波解u=aei(kx-ωt)(其中，a,k,ω均与自变量x,t无关且k为实数)的色散关系，讨论谐波是否耗散，是否色散，求出谐波的相速度和群速度（以k表达）.(4)用Fourier变换法求出解的积分表达式.

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为k/r2 (k>0，为常数，r为质点A与M之间的距离)，质点M沿曲线y=自B(2,0)运动到O(0,0)，求在此运动过程中质点A对质点M的引力所做的功.

由曲线y=sin3/2⁡x (0≤x≤π)与x轴围成的平面绕x轴旋转而的旋转体的体积为【】

双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为【】

曲线y=cosx(-π/2≤x≤π/2)与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为【】

求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a>0是常数.

求由曲面(x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 )2=x2/a2 +y2/b2 (a,b,c>0)所围成的空间区域的体积.

由曲线y=lnx与两条直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积是______.

求由曲线y=1+sinx与直线y=0,x=0,x=π围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积V.

求过曲线y=-x2+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x,y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？

定积分的几何应用

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价；(2)若对上式中的积分用辛普生公式，试导出相应的计算格式；并针对初值问题给出计算格式。

从原点向抛物线y=x2+x+1引两条切线，求此二切线与抛物线围成的面积。

试求由曲线y=ex下方，经过坐标原点作y=ex的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。

求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.

(1)设y=φ(x)(x≥0)是严格增加的连续函数，φ(0)=0,x=ψ(y)是它的反函数，证明：φ(x) dx+ψ(y)dy≥ab,(a,b≥0)，并给出上述不等式的几何意义（要求图示）.(2)用上述不等式证明：ab≤ap/p+bq/q,a,b>0,p>1,1/p+1/q=1.

已知平面区域D={(x,y)|0≤y≤1/(x),x≥1}.(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

求曲线L:y=1/3 x3+2x(0≤x≤1)绕直线y=4/3 x旋转一周生成的旋转曲面的面积.

曲线y=dt的弧长为__________.

求n-1/2 的整数部分.

设f(x)=t|t|dt.求曲线y=f(x)与x轴所围成封闭图形的面积.

函数的极值与最值

设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处【】

去年，张师傅因为多旋圈面爆红，今年他来到了达摩院给扫地僧做面。某天，软件工程师小李跟张师傅吐槽工作。小李主要硏究和设计算法用于调节各种产品的参数。这样的参数一般可以通过极小化Rn上的某个损失函数f求得。在小李最近的一个项目中，这个损失函数是另外一个课题组提供的；出于安全考虑和技术原因，该课题组难以向小李给出此函数的内部细节，而只能提供一个接口用于计算任意x∈Rn处的函数值f(x)。所以，小李必须仅基于函数值来极小化f。而且，每次计算f的值都消耗不小的计算资源。好在该问题的维度n不是很高(10左右)。另外，提供函数的同事还告知小李不妨先假设f是光滑的。这个问题让张师傅想起了自己收藏的一台古董收音机。要在这台收音机上收听一个节目，你需要小心地来回拧一个调频旋钮，同时注意收音效果，直到达到最佳。在这过程中，没有人确切地知道旋钮的角度和收音效果之间的定量关系是什么。张师傅和小李意识到，极小化f不过就是调节一台有多个旋钮的机器：想象x的每一个分量由一个旋钮控制，而f(x)表示这台机器的某种性能，只要我们来回调整每个旋钮，同时监视f的值，应该就有希望找到最佳的x。受此启发，两人一起提出了极小化f的一个迭代算法，并命名为“自动前后调整算法”( Automated Forward/Backward Tuning，AFBT，算法1)。在第k次迭代中，AFBT通过前后调整xk的单个分量得2n个点{xk±tk ei:i=1,…,n}，其中tk为步长；然后，令yk为这些点中函数值最小的一个，并检査yk是否使f充分减小；若是，取xk+1=yk，并将步长增倍；否则，令xk+1=xk并将步长减半。在算法1中，ei表示Rn中的第i个坐标向量，它的第i个分量为1，其余皆为0； I(∙) 为指示函数——若f(xk )-f(yk)至少为tk之平方，则I[f(xk )-f(yk )≥tk2]取值为1，否则为0。1自动前后调整算法(AFBT)输入x0∈Rn,t0>0。对k=0,1,2,…，执行以下循环。1：yk≔argmin{f(y):y=xk±tk ei,i=1,…,n} #计算损失函数。2：sk≔I[f(xk )-f(yk )≥tk2] #是否充分下降？是：sk=1；否：sk=0。3：xk+1≔(1-sk ) xk+sk yk #更新迭代点。4：tk+1≔2(2sk-1 ) tk #更新步长。sk=1：步长增倍；sk=0：步长减半。现在，我们对损失函数f:Rn→R作出如下假设。假设1. f为凸函数，即对任何x,y∈Rn与α∈[0,1]都有f((1-α)x+αy)≤(1-α)f(x)+αf(y).假设2. f在Rn上可微且∇f在Rn上 L-Lipschitz连续。假设3. f的水平集有界，即对任意λ∈R，集合{x∈Rn:f(x)≤λ}皆有界。基于假设1与假设2，可以证明〈∇f(x),y-x〉≤f(y)-f(x)≤〈∇f(x),y-x〉+L/2 ‖x-y‖2对任何x,y∈Rn成立；假设1与假设3则保证f在Rn上取到有限的最小值f*。凸函数的更多性质可参考任何一本凸分析教科书。证明题(20分) 在假设1-3下，对于AFBT，证明f(xk)=f*.

某厂家生产一种产品同时在两个市场上销售，价格分别为P1和P2，销量分别为q1和q2，需求满足下列关系：q1=24-0.2P1；q2=10-0.05P2.成本函数为：C=35+40(q1+q2)试问厂家如何确定两个市场的价格才能使获利最大？最大为多少？

某企业生产某种商品，年产x件时总成本为c(x)=c+dx，年需求量是价格p的线性函数为a-bp（其中a,b,c,d均为常数），试求：(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性。

设f(x)=nx(1-x)n（n为自然数），求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

已知二元函数z=z(x,y)：z(x,y)=1/4[4(tgx+tgy)2 - 12tgx∙tgy - 3]，试求：二元函数z=z(x,y)在正方形区域：D ̅:-π/4≤x≤π/4,-π/4≤y≤π/4 里的最大值zmax=?和最小值zmin=?，并指出二元函数z=z(x,y)在闭区域D ̅里何点处取得最大值zmax和最小值zmin?

当x=______时，函数y=x∙2x取得极小值.

设(f(x)-f(a))/(x-a)2=-1，则在x=a处【】

设y=f(x)是方程y''-2y'+4y=0的一个解，且f(x0)>0,f' (x0)=0，则函数f(x)在点x0处【】

已知f(x)在x=0的某个领域内连续，且f(0)=0,f(x)/(1-cosx)=2，则在点x=0处f(x)【】