计算题(2003年东北财经大学

试求由曲线y=ex下方,经过坐标原点作y=ex的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。

答案解析

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讨论

为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口(见图). 已知井深30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需做多少焦耳的功?(说明:①1Nx1m=1J;其中m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒,焦耳.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

点A位于半径为a的圆周内部,且离圆心的距离为b(0≤b<a),从点A向圆周上所有点的切线作垂线,求所有垂足所围成的图形的面积.

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价;(2)若对上式中的积分用辛普生公式,试导出相应的计算格式;并针对初值问题给出计算格式。

从原点向抛物线y=x2+x+1引两条切线,求此二切线与抛物线围成的面积。

由曲线y=sin3/2⁡x (0≤x≤π)与x轴围成的平面绕x轴旋转而的旋转体的体积为【 】

曲线y=cosx(-π/2≤x≤π/2)与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为【 】

设抛物线y=ax2+bx+c过原点,当0≤x≤1时,y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3,试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

过点P(1,0)作抛物线y=的切线,该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f'(x)>-2f(x)/x,证明(1)中的x0是唯一的.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶连续导数,证明:f'' (x)≥0的充要条件是:对任意不同的实数a,b,f((a+b)/2)≤1/(b-a)f(x)dx.