求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a>0是常数.
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计算题（1996年理工数学Ⅰ）
答案解析
因为r^' (θ)=-asinθ,ds=
dθ=2a|cos(θ/2)|dθ,
利用对称性知，所求心形线的全长为
s=2
2 acos(θ/2)dθ= 8 asin(θ/2)
=8a.
讨论
设f(x)有连续的导数，f(0)=0,f'(0)≠0,F(x)=(x2-t2) f(t)dt，且当x→0时，F'(x)与xk是同阶无穷小，则k等于【 】
设an>0(n=1,2,⋯)，且an 收敛，常数λ∈(0,π/2)，则级数(-1)n (ntan λ/n) a2n【 】
设f(x)有二阶连续导数，且f' (0)=0,f''(x)/|x|=1，则【 】
已知((x+ay)dx+ydy)/(x+y)2 为某函数的全微分，则a等于【 】
设ξ,η是两个相互独立且均服从正态分布N(0,1/2)的随机变量，则随机变量|ξ-η|的数学期望E(|ξ-η|)=________.
设工厂A 和工厂B的产品的次品率分别为1% 和 2%，现从由 A 厂和 B厂的产品分别占60% 和 40% 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属 A厂生产的概率是________.
设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________.
设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为k/r2 (k>0，为常数，r为质点A与M之间的距离)，质点M沿曲线y=自B(2,0)运动到O(0,0)，求在此运动过程中质点A对质点M的引力所做的功.
由曲线y=sin3/2x (0≤x≤π)与x轴围成的平面绕x轴旋转而的旋转体的体积为【 】
双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为【 】
曲线y=cosx(-π/2≤x≤π/2)与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为【 】
(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价；(2)若对上式中的积分用辛普生公式，试导出相应的计算格式；并针对初值问题给出计算格式。
从原点向抛物线y=x2+x+1引两条切线，求此二切线与抛物线围成的面积。
试求由曲线y=ex下方，经过坐标原点作y=ex的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。
求由曲面(x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 )2=x2/a2 +y2/b2 (a,b,c>0)所围成的空间区域的体积.
由曲线y=lnx与两条直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积是______.
求由曲线y=1+sinx与直线y=0,x=0,x=π围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体体积V.
求过曲线y=-x2+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x,y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？
已知平面区域D={(x,y)|0≤y≤1/(x),x≥1}.(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.
点A位于半径为a的圆周内部，且离圆心的距离为b(0≤b<a)，从点A向圆周上所有点的切线作垂线，求所有垂足所围成的图形的面积.
求曲线L:y=1/3 x3+2x(0≤x≤1)绕直线y=4/3 x旋转一周生成的旋转曲面的面积.