大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1987年定积分的几何应用)

填空题（1987年理工数学Ⅰ）

由曲线y=lnx与两条直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积是______.

答案解析

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讨论

大学数学

当x=______时，函数y=x∙2x取得极小值.

求定解问题对应的贝塞尔方程

写出定解问题的解的表示 ,S:x2+y2+x2=1.

求边值问题的固有值和固有函数

求方程uxx+6uxy-7uyy=0的通解。

设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为φ(x)，在一端有热流密度q1进入，另一端与温度为θ(t)的介质有热交换。写出定解问题。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域1<|z|<+∞中展开为罗朗级数。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域2<|z-i|<+∞中展开为罗朗级数。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域0<|z-i|<2中展开为罗朗级数。

计算积分I=∫c(ez dz)/(z2+1)2 ,其中积分路线c为椭圆：4x2+y2-2y-8=0正向一周。

定积分的应用

设实变量的复值函数u(x,t)满足Cauchy初值问题iut+uxx=0,-∞<x<+∞,t>0，其中i=√(-1)，u(x,0)=f(x)为已知函数且满足|f(x)|2 dx=1.(1)求证对任意的t>0，有|u(x,t)|2 dx≡1.(2)求证此问题在L2空间中的解是唯一的.(3)求谐波解u=aei(kx-ωt)(其中，a,k,ω均与自变量x,t无关且k为实数)的色散关系，讨论谐波是否耗散，是否色散，求出谐波的相速度和群速度（以k表达）.(4)用Fourier变换法求出解的积分表达式.

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价；(2)若对上式中的积分用辛普生公式，试导出相应的计算格式；并针对初值问题给出计算格式。

从原点向抛物线y=x2+x+1引两条切线，求此二切线与抛物线围成的面积。

试求由曲线y=ex下方，经过坐标原点作y=ex的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。

求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.

(1)设y=φ(x)(x≥0)是严格增加的连续函数，φ(0)=0,x=ψ(y)是它的反函数，证明：φ(x) dx+ψ(y)dy≥ab,(a,b≥0)，并给出上述不等式的几何意义（要求图示）.(2)用上述不等式证明：ab≤ap/p+bq/q,a,b>0,p>1,1/p+1/q=1.

求由曲面(x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 )2=x2/a2 +y2/b2 (a,b,c>0)所围成的空间区域的体积.

为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口(见图). 已知井深30m,抓斗自重 400N，缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明:①1Nx1m=1J;其中m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒,焦耳.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

曲线y=dt的弧长为__________.

设f(x)=t|t|dt.求曲线y=f(x)与x轴所围成封闭图形的面积.

定积分的几何应用

过点P(1,0)作抛物线y=的切线，该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

求n-1/2 的整数部分.

已知平面区域D={(x,y)|0≤y≤1/(x),x≥1}.(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

点A位于半径为a的圆周内部，且离圆心的距离为b(0≤b<a)，从点A向圆周上所有点的切线作垂线，求所有垂足所围成的图形的面积.

设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3，试确定a,b,c，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导，且f'(x)>-2f(x)/x，证明(1)中的x0是唯一的.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶连续导数，证明：f'' (x)≥0的充要条件是：对任意不同的实数a,b,f((a+b)/2)≤1/(b-a)f(x)dx.

求曲线L:y=1/3 x3+2x(0≤x≤1)绕直线y=4/3 x旋转一周生成的旋转曲面的面积.

求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a>0是常数.

曲线y=cosx(-π/2≤x≤π/2)与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为【】