(1)设y=φ(x)(x≥0)是严格增加的连续函数,φ(0)=0,x=ψ(y)是它的反函数,证明:φ(x) dx+ψ(y)dy≥ab,(a,b≥0),并给出上述不等式的几何意义(要求图示).
(2)用上述不等式证明:ab≤ap/p+bq/q,a,b>0,p>1,1/p+1/q=1.
(1)设y=φ(x)(x≥0)是严格增加的连续函数,φ(0)=0,x=ψ(y)是它的反函数,证明:φ(x) dx+ψ(y)dy≥ab,(a,b≥0),并给出上述不等式的几何意义(要求图示).
(2)用上述不等式证明:ab≤ap/p+bq/q,a,b>0,p>1,1/p+1/q=1.
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设函数f(x)在闭区间[a,]连续,f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0,证明:函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。
计算第二型曲面积分∬S,其中S是下半球面z=-的下侧,a>0是常数.
计算二重积分∬D3x/(x2+xy3 ) dxdy,D:平面曲线xy=1,xy=3,y2=x,y2=3x所围成的有界闭区域.
求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径,并判断它在收敛区间端点的收敛情况.
求函数f(x,y)=1/2(xn+yn)(n是正整数)在条件x+y=a(x≥0,y≥0,常数a>0)下的极值.
用变换ξ=x,η=x2+y2化简方程y ∂z/∂x-x ∂z/∂y=0,并求出这个方程的通解z=z(x,y).
设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵且A11≠0,b≠0,其中A11为A的a11对应的代数余子式.证明:AX=b有无穷多个解⟺b是A* X=0的解.
(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价;(2)若对上式中的积分用辛普生公式,试导出相应的计算格式;并针对初值问题给出计算格式。
从原点向抛物线y=x2+x+1引两条切线,求此二切线与抛物线围成的面积。
试求由曲线y=ex下方,经过坐标原点作y=ex的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。
求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.
设f(x)=t|t|dt.求曲线y=f(x)与x轴所围成封闭图形的面积.
点A位于半径为a的圆周内部,且离圆心的距离为b(0≤b<a),从点A向圆周上所有点的切线作垂线,求所有垂足所围成的图形的面积.
设抛物线y=ax2+bx+c过原点,当0≤x≤1时,y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3,试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.