问答题(2004年重庆大学

(1)设y=φ(x)(x≥0)是严格增加的连续函数,φ(0)=0,x=ψ(y)是它的反函数,证明:φ(x) dx+ψ(y)dy≥ab,(a,b≥0),并给出上述不等式的几何意义(要求图示).

(2)用上述不等式证明:ab≤ap/p+bq/q,a,b>0,p>1,1/p+1/q=1.

答案解析

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讨论

设实变量的复值函数u(x,t)满足Cauchy初值问题iut+uxx=0,-∞<x<+∞,t>0,其中i=√(-1),u(x,0)=f(x)为已知函数且满足|f(x)|2 dx=1.(1)求证对任意的t>0,有|u(x,t)|2 dx≡1.(2)求证此问题在L2空间中的解是唯一的.(3)求谐波解u=aei(kx-ωt)(其中,a,k,ω均与自变量x,t无关且k为实数)的色散关系,讨论谐波是否耗散,是否色散,求出谐波的相速度和群速度(以k表达).(4)用Fourier变换法求出解的积分表达式.

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价;(2)若对上式中的积分用辛普生公式,试导出相应的计算格式;并针对初值问题给出计算格式。

从原点向抛物线y=x2+x+1引两条切线,求此二切线与抛物线围成的面积。

试求由曲线y=ex下方,经过坐标原点作y=ex的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。

求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.

为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底抓起污泥后提出井口(见图). 已知井深30m,抓斗自重 400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需做多少焦耳的功?(说明:①1Nx1m=1J;其中m,N,s,J分别表示米,牛顿,秒,焦耳.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

设f(x)=t|t|dt.求曲线y=f(x)与x轴所围成封闭图形的面积.

点A位于半径为a的圆周内部,且离圆心的距离为b(0≤b<a),从点A向圆周上所有点的切线作垂线,求所有垂足所围成的图形的面积.

设抛物线y=ax2+bx+c过原点,当0≤x≤1时,y≥0.又已知抛物线与x轴及直线x=1所围成图形的面积为1/3,试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.

过点P(1,0)作抛物线y=的切线,该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.