计算题(2004年重庆大学

用变换ξ=x,η=x2+y2化简方程y ∂z/∂x-x ∂z/∂y=0,并求出这个方程的通解z=z(x,y).

答案解析

暂无答案

讨论

设x(y),z(y)是由方程组所确定的隐函数,求x'(y),z'(y).

函数u=ln⁡(x+)在A(1,0,1)处沿A点指向B(3,-2,2)点方向的方向导数为________.

设直线l:在平面π上,且平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1,-2,5),求a,b的值.

设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求dz/dx.

已知z3-xyz=a3,求zxx,zyx.

xy (3x-4y)/(x2+y2)

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数,且不恒为常数,并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数,使得对任意的λ>0,函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α;(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛,则对任意的λ>0,以下等式成立:|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域,且 u|∂D=0,证明:∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.

设u=u(x,y),v=v(x,y)由方程所确定,求∂u/∂x,∂v/∂x.

设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是R³上的二阶连续可微函数,满足∂R/∂y-∂Q/∂z=a,∂P/∂z-∂R/∂x=b,∂Q/∂x-∂P/∂y=c其中a,b,c为常数,证明:存在R³上的连续线性函数f,g,h使得(P-f)dx+(Q-g)dy+(R-h)dz是全微分.

分析{(x,y)|x²+y²<1}上的实系统其中的所有奇点,并确定其类型,画出奇点附近的大致图,并与之对应的一次近似系统作比较.