大学数学-考研试题(重庆大学 2003年隐函数的求导公式)

计算题（2003年重庆大学）

设x(y),z(y)是由方程组所确定的隐函数，求x'(y),z'(y).

答案解析

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讨论

大学数学

求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.

求定积分sinθ/(sinθ+cosθ) dθ.

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

求极限⁡( - ).

若f(x,y)的偏导数fx,fy在(x0,y0)存在，则f(x,y)在(x0,y0)连续.

设f(x)在[0,+∞)上非负连续，n是正整数，若f(x)dx存在，则f(x)dx收敛.

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

若un>0,n=1,2,…且∀n,un+1/un <1则un 收敛.

若f(x,y)在区域D内对x和y都是连续的，则f(x,y)对(x,y)D为二元连续.

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

多元函数微分法

函数u=ln⁡(x+)在A(1,0,1)处沿A点指向B(3,-2,2)点方向的方向导数为________.

设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz/dx.

已知z3-xyz=a3，求zxx,zyx.

xy (3x-4y)/(x2+y2)

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数，且不恒为常数，并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数，使得对任意的λ>0，函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α；(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛，则对任意的λ>0，以下等式成立：|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域，且 u|∂D=0，证明：∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.

设u=u(x,y),v=v(x,y)由方程所确定，求∂u/∂x,∂v/∂x.

设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是R³上的二阶连续可微函数，满足∂R/∂y-∂Q/∂z=a,∂P/∂z-∂R/∂x=b,∂Q/∂x-∂P/∂y=c其中a,b,c为常数，证明：存在R³上的连续线性函数f,g,h使得(P-f)dx+(Q-g)dy+(R-h)dz是全微分.

设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程∂2z/∂x2+∂2z/∂y2=e2x z,求f(u).

函数f(x,y)=x2+2y2在(0,1)的最大方向导数为______.

当x≥0,y≥0时，x2+y2≤kex+y恒成立，则k的最小值是__________.

隐函数的求导公式

设u=f(x,y,z),φ(x2,ey,z)=0,y=sinx，其中f,φ都具有一阶连续偏导数，且∂φ/∂z≠0,求du/dx.

设参数方程x=f'(t),y=tf'(t)-f(t)，其中函数f(t)可以求导足够次数，求一阶导数dy/dx和二阶导数d2y/dx2.

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

重庆大学数列极限

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

设f(x)=nx(1-x)n（n为自然数），求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求：F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段（t:0→π/4）所作的功.

如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.