大学数学-考研试题(重庆大学 2003年多元函数的概念与极限)

判断题（2003年重庆大学）

若f(x,y)在区域D内对x和y都是连续的，则f(x,y)对(x,y)D为二元连续.

答案解析

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讨论

大学数学

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.

设f(x)在[0,1]上连续，f(x)dx=0,xf(x)dx=1，则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求：F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段（t:0→π/4）所作的功.

多元函数的概念与极限

xy (3x-4y)/(x2+y2)

设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵且A11≠0,b≠0，其中A11为A的a11对应的代数余子式.证明：AX=b有无穷多个解⟺b是A* X=0的解.

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

重庆大学数列极限

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

设f(x)=nx(1-x)n（n为自然数），求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

设A=，B是三阶非零方阵，且AB=O，求a,b以及B的秩.

设C=，求C101.

已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V：(a1,b1 )+(a2,b2 )=(a1+a2,b1+b2+a1 a2),k∙(a,b)=(ka,kb+(k(k-1))/2 a2).(1)求V的一组基;(2)定义变换A(a,b)=(a,a+b)，证明：A是一个线性变换；并求A在V的一组基下的矩阵表示.

多元函数微分法

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

设u(x,y,z)=，证明：d2u≥0.

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

已知z3-xyz=a3，求zxx,zyx.

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数，且不恒为常数，并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数，使得对任意的λ>0，函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α；(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛，则对任意的λ>0，以下等式成立：|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域，且 u|∂D=0，证明：∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.

设u=u(x,y),v=v(x,y)由方程所确定，求∂u/∂x,∂v/∂x.

求函数f(x,y)=(y-x²)(y-x³)的极值.

求函数f(xy)=xecosy+x2/2的极值.

设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是R³上的二阶连续可微函数，满足∂R/∂y-∂Q/∂z=a,∂P/∂z-∂R/∂x=b,∂Q/∂x-∂P/∂y=c其中a,b,c为常数，证明：存在R³上的连续线性函数f,g,h使得(P-f)dx+(Q-g)dy+(R-h)dz是全微分.