大学数学-考研试题(北京师范大学 2022年方向导数与梯度)

问答题（2022年北京师范大学）

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

答案解析

(1)对函数作极坐标变换：，则(x,y)→(0,0)⟺r⟶0.|f(x,y)-0|=|x(x2+2y2 )/(x2+y2 )|=|rcosθ(1+sin2⁡θ )|≤2r→0(r→0)即f(x,y)=0=f(0,0)，所以f(x,y)在(0,0)处连续.(2)令P0 (0,0),P(ρcosθ0,ρsinθ0)，则(f(P)-f(P0))/ρ=(ρcosθ0 (1+sin2⁡θ0 ))/ρ=cosθ0 (1+...

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讨论

全微分

已知((x+ay)dx+ydy)/(x+y)2 为某函数的全微分，则a等于【】

设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2 , f(x,x2)=2x2lnx，则df(1,1)=【】

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是R³上的二阶连续可微函数，满足∂R/∂y-∂Q/∂z=a,∂P/∂z-∂R/∂x=b,∂Q/∂x-∂P/∂y=c其中a,b,c为常数，证明：存在R³上的连续线性函数f,g,h使得(P-f)dx+(Q-g)dy+(R-h)dz是全微分.

已知z3-xyz=a3，求zxx,zyx.

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

计算 ∬∑x3dydz，其中∑: x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1,z≥0，取外侧.

已知an=+∞，证明(a1+a2+⋯+an)/n=+∞，并举例说明反过来不成立.

讨论1/alnn (a>0)的敛散性.

设f(x)在(0,1)可微，且有x2 f(x) dx=0，证明：存在θ∈(0,1)，使得f' (θ)=-f(θ)/θ.

多元函数微分法

设f,g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy)，求∂u/∂x∙∂v/∂x

设z=f(ex siny,x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求∂2z/∂x∂y.

由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转柱面在点(0,√3,√2)处的指向外侧的单位法向量为__________.

曲面z-ez+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面方程为____________.

设u=e-xsin⁡(x/y)，则∂2u)/∂x∂y在点(2,1/π)处的值为________.

函数u=ln⁡(x+)在A(1,0,1)处沿A点指向B(3,-2,2)点方向的方向导数为________.

设直线l:在平面π上，且平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1,-2,5)，求a,b的值.

函数f(x,y)=x2+2y2在(0,1)的最大方向导数为______.

当x≥0,y≥0时，x2+y2≤kex+y恒成立，则k的最小值是__________.

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

方向导数与梯度

设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=/z在点P处沿方向n的方向导数.

函数u=ln⁡(x2+y2+z2)在点M(1,2,-2)处的梯度 gradu|M=__________.

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数，且不恒为常数，并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数，使得对任意的λ>0，函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α；(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛，则对任意的λ>0，以下等式成立：|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域，且 u|∂D=0，证明：∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ，其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

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