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考研2022年北京理工大学( )

已知二元函数f(x,y)=.

(1)求fx(0,y);

(2)证明:fxy(0,0)=-1.

(1)当y=0时,fx (0,0)=(f(x,0)-f(0,0))/x=(0-0)/x=0,

当y≠0时,fx (0,y)=(f(x,y)-f(0,y))/x==-y.

∴fx (0,y)=.

(2) fxy (0,0)=(fx (0,y)-fx (0,0))/y=(-y-0)/y=-1.

考研2022年北京理工大学( )

已知:z=x2 F(y/x2),其中F(u)的一阶偏导数存在,证明:x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2z.

∵∂z/∂x=2xF+x2 F'(-2y/x3 )=2xF-2y/x F'

∂z/∂y=x2 F' 1/x2 =F' 

∴x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2x2 F-2yF'+2yF'=2z.

考研2022年北京理工大学( )

已知z=f(u,v),其中u=2x+y,v=x2,求∂z/∂x,∂z/∂y,∂2/∂x2,∂2z/∂x∂y.

∂z/∂x=2fu+2xfv

∂z/∂y=fu

2z/∂x2=∂/∂x (2fu+2xfv )=2fuu∙2+2fuv∙2x+2fv+2xfvu∙2+2xfvv∙2x=4fuu+4xfuv+2fv+4xfvu+4x2 fvv

2z/∂x∂y=∂/∂y (2fu+2xfv )=2fuu+2xfvu

考研2022年中国科学技术大学( )

设u(x,y,z)=,证明:d2u≥0.

考研2022年经济数学Ⅲ( )

设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定,生产函数为Q=12x1/2 y1/6,该产品的销售单价P与Q的关系为P=1160-1.5Q,若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8,求利润最大时的产量.

由题意知,生产成本:6x+8y,生产量:Q=12x1/2y1/6,价格:P=1160-1.5Q,

∴利润W=Q[P-(6x+8y)]=12x1/2y1/6(1160-18x1/2y1/6-6x-8y).

令Wx=6960x1/2y1/6-216y1/3-6=0,Wy=2320x1/2y-5/6-72xy-2/3-8=0,

解得(x,y)=(256,64)为驻点,此时Q取最大值384.