大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2025年方向导数与梯度)

填空题（2025年理工数学Ⅰ）

已知函数v(x,y,z)=xy²z³，向量n^→=(2,2,-1)，则 ∂v/(∂n)|_(1,1,1)=______.

答案解析

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【解析】

解答过程见word版

讨论

大学数学

已知函数f(x)=的傅里叶级数为bn sinnπx,S(x)为bn sinnπx的和函数，则S(-7/2)=______.

(xx-1)/(lnx∙ln⁡(1-x))=______.

设x1,x2,⋯,xn为来自总体N(μ,2)的简单随机样本，记X ̅=1/n xi ,Zα表示标准正态分布的上侧α分位数，假设检验问题：H0:μ≤1,H1:μ>1的显著性水平为α的检验的拒绝域为【】

设X1,X2,⋯,X20是来自总体B(1,0,1)的简单随机样本，令T=∑i=120Xi ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得P{T≤1}≈【】

设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(0,0;1,1,ρ)，其中ρ∈(-1,1)，若a,b为满足a²+b²=1的任意实数，则D(aX+bY)的最大值为【】

设n阶矩阵A,B,C满足r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n，给出下列四个结论：①r(ABC)+n=r(AB)+r(C);② r(AB)+n=r(A)+r(B);③ r(A)=r(B)=r(C)=n;④r(AB)=r(BC)=n，其中正确的选项是【】

设α1,α2,α3,α4是n维向量，α1,α2线性无关，α1,α2,α3线性相关，且α1+α2+α4=0，在空间直角坐标系O-xyz中，关于x,y,z的方程组xα1+yα2+zα3=α4的几何图形是【】

二次型f(x1,x2,x3 )=x1²+2x1 x2+2x2 x3的正惯性指数为【】

设函数f(x,y)连续，则dy=【】

设函数f(x)在区间[0,+∞)上可导，则【】

多元函数微分法

设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,n= (∂f/∂x,∂f/∂y,-1)|(0,0)，非零向量r与n垂直，则【】

设函数f(x,y)=ext²dt，则∂²f/∂x∂y|(1,1)=______

求f(x,y)=x³+8y³-xy的极值.

设u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z)由x=u+v+w,y=uv+uw+vw,z=uvw确定，求∂u/∂x,∂u/∂y,∂u/∂z.

已知函数f(x,y)=，则在点(0,0)处【】

已知函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，且函数g(x,y)=f(2x+y,3x-y)满足(∂² g)/(∂x² )+(∂² g)/∂x∂y-6 (∂² g)/(∂y² )=1.(1)求(∂² f)/∂u∂v;(2)若∂f(u,0)/∂u=ue^(-u),f(0,v)=1/50 v²-1，求f(u,v)的表达式.

设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，且df|(1,1)=3du+4dv，令y=f(cosx,1+x²)，则d²y/dx²|x=0=______.

函数f(x,y)=2x³-9x²-6y4+12x+24y的极值点是______.

设函数z=z(x,y)由方程z+ex-yln(1+z²)=0确定，求(∂²z/∂x²+∂²z/∂y²)|(0,0).

方向导数与梯度

若f(x)=，求在(0,0)处(cosα,sinα)'的方向导数为________.

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=/z在点P处沿方向n的方向导数.

函数u=ln⁡(x2+y2+z2)在点M(1,2,-2)处的梯度 gradu|M=__________.

函数u=ln⁡(x+)在A(1,0,1)处沿A点指向B(3,-2,2)点方向的方向导数为________.

函数f(x,y)=x2+2y2在(0,1)的最大方向导数为______.

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数，且不恒为常数，并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数，使得对任意的λ>0，函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α；(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛，则对任意的λ>0，以下等式成立：|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域，且 u|∂D=0，证明：∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且f(x)=0，则【】

设R为幂级数anxn 的收敛半径，r是实数，则【】