大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2020年幂级数)

单项选择（2020年理工数学Ⅰ）

设R为幂级数a_nxⁿ 的收敛半径，r是实数，则【】

A、当a_2n r²ⁿ 发散时，|r|≥R

B、当a_2n r²ⁿ 收敛时，|r|≤R

C、当|r|≥R时，a_2n r²ⁿ 发散

D、当|r|≤R时，a_2n r²ⁿ 收敛

答案解析

A

讨论

大学数学

设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,n= (∂f/∂x,∂f/∂y,-1)|(0,0)，非零向量r与n垂直，则【】

设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，且f(x)=0，则【】

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】

设a1,a2,⋯,an是n个实数，都落在区间(-1,1)里.(1)证明 ∏1≤i,j≤n(1+aiaj)/(1-aiaj )≥1(2)找出以上不等式中等号成立的充分必要条件.

设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续，求证：1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2 maxx∈[a,b] ⁡|f'(x)|,x∈[a,b]

证明：xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中，a>0为常数.

证明：sin⁡(x²)dx>0.

考虑一个Lebesgue不可测集W⊂[0,1]，定义函数f(x)=证明：fy(x)=0，但存在一个δ>0，使得对于[0,2]中任意可测子集Eδ,m(Eδ )<δ，当y→∞时，函数列{fy(x)}在[0,2]Eδ上不一致收敛到0.

叙述Egoroff定理.

分析{(x,y)|x²+y²<1}上的实系统其中的所有奇点，并确定其类型，画出奇点附近的大致图，并与之对应的一次近似系统作比较.

幂级数

设数列{an}满足a1=1,(n+1) an+1=(n+1/2) an，证明：当|x|<1时，幂级数an xn 收敛，并求其和函数.

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

求幂级数(2n+1) xn 的收敛域，并求其和函数.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

无穷级数

将函数f(x)=1/4 ln⁡(1+x)/(1-x)+1/2 arctanx-x展开成x的幂级数.

设f(x)在x=0的某一领域内具有二阶连续导数，且f(x)/x=0，证明级数f(1/n)绝对收敛.

设un=(-1)n ln⁡(1+1/√n)，则级数【】

将f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数.

设an>0(n=1,2,⋯)，且an 收敛，常数λ∈(0,π/2)，则级数(-1)n (ntan λ/n) a2n【】

求级数1/((n2-1)2n)的和.

设幂级数anxn 的收敛半径为3，则幂级数nan (x-1)n+1的收敛区间为________.

设a1=2,an+1=1/2(an+1/an )(n=1,2,…)，证明：(1) an 存在；(2)级数(an/an+1 -1)收敛.

设正向数列{an}单调减少，且(-1)nan 发散，试问级数(1/(an+1))n 是否收敛？并说明理由.

设f(x)=,S(x)=a0/2+ancosnπx,-∞<x<+∞，其中an=2f(x)cosnπxdx (n=0,1,2,…)，则S(-5/2)等于【】