大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2020年幂级数)

问答题（2020年理工数学Ⅰ）

设数列{a_n}满足a₁=1,(n+1) a_n+1=(n+1/2) a_n，证明：当|x|<1时，幂级数a_n xⁿ 收敛，并求其和函数.

答案解析

S(x)=2/-2

(详细解答过程见word版)

讨论

幂级数

设R为幂级数anxn 的收敛半径，r是实数，则【】

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【】

求级数(-1)n(n2-n+1)/2n 的和.

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

求幂级数(3+(-1)n)n/n xn的收敛半径，并判断它在收敛区间端点的收敛情况.

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

求幂级数(x-3)n/(n∙3n)的收敛域.

一阶线性微分方程

求微分方程x dy/dx=x-y满足条件 y|x=√2 =0的解.

求微分方程y'+1/x y=1/(x(x2+1))的通解（一般解）.

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x (0<x<+∞)满足y(1)=0的解.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解.

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=________________.

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.

设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知||=||，且l过点(3/2,3/2)，求l的方程.

证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根，其中μ为整数。

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

无穷级数

已知an<bn (n=1,2,⋯), 若级数an ,与bn 均收敛，则“an 绝对收敛”是“bn 绝对收敛的”【】

设f(x)为周期为2的周期函数，且f(x)=1-x,x∈[0,1]，若f(x)=a0/2+ancosnπx，则a2n =________.

判断函数列fn(x)=(x/n)ln(x/n)在区间(0,1)上的一致收敛性（说明理由）.

(1)设函数f(x)在点x_0点附近有定义，证明：f(x)存在（有限）的充分必要条件是：对任意以x0为极限的数列{xn},xn≠x0，都有数列{f(xn)}收敛；(2)判断极限sin 1/x是否存在（说明理由）.

设α为常数，则级数(sinnα/n2 -1/√n)【】

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【】

设f(x)=，则其以2π为周期的傅里叶级数在点x=π处收敛于__________.

级数(-1)n(1-cos⁡ α/n)(常数α>0)【】

设函数f(x)=πx+x2 (-π<x<π)的傅里叶级数展开式为a0/2+(ancosnx+bnsinnx)，其中系数b3的值为__________.

设常数λ>0，且级数an2 收敛，则级数(-1)n |an |/【】