设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y(
)=10,
(1) 求y(x);
(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.
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问答题（2021年理工数学Ⅱ）
答案解析
(1) y' - 6/x y = -6/x，∴y = = x6 (1/x6 + C) = 1 + Cx6 将y() = 10代入，C = 1/3, ∴ y = 1 + x6/3.(2) 设P(x,y),过P点的切线方程为Y - y = 2x5 (X - x),法线方程为Y - y = -(X - x),令X = 0, Y = Iy ...
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f(x)满足∫f(x)/dx = 1/6·x2 - x + C,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),L的弧长为s,L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A，求s和A.
微分方程y''' - y = 0的通解y=_____________________.
已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=______.
设函数z=z(x,y)由方程(x+1)z+ylnz-arctan(2xy)=1确定，则 = ______.
已知矩阵A=，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q使PAQ为对角矩阵，则P,Q可以分别取【 】
设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)，若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出，则【 】
设曲线l位于xOy平面的第一象限内，l上任一点M处的切线与y轴总相交，交点记为A.已知||=||，且l过点(3/2,3/2)，求l的方程.
求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解.
求微分方程y''+4y'+4y=eax的通解，其中a为实数.
设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.
若微分方程y''+ay'+by=0的解在(-∞,+∞)上有界，则【 】
求微分方程x2y'+xy=y2满足初始条件y|x=1=1的特解.
设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.
微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=________________.
求微分方程y'+1/x y=1/(x(x2+1))的通解（一般解）.
求微分方程x dy/dx=x-y满足条件 y|x=√2 =0的解.
证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根，其中μ为整数。
已知二次型f(x1,x2,x3 )=3x12+4x22+3x32+2x1 x3，(1)求正交变换x=Qy将f(x1,x2,x3)化为标准形；(2)证明minx≠0f(x)/(xT x)=2.
将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆，问这两段铁丝长各为多少时，正方形与圆的面积之和为最小？
设两函数f(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数F(x)=f(x)g(x)在x=a处【 】
在椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的第一象限上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围成图形面积为最小（其中a>0,b>0）.