大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 1990年高阶线性微分方程)

问答题（1990年理工数学Ⅱ）

求微分方程y''+4y'+4y=e^ax的通解，其中a为实数.

答案解析

方程y''+4y'+4y=eax对应的齐次方程的特征方程为λ2+4λ+4=0，特征根为λ1=λ2=-2，故对应的齐次方程通解为(C1+C2 x) e-2x.当a≠-2时，即a不是特征根，方程的特解可设为y*=Aeax，代入原方程得A=1/(a+2)2 ，于是通解为y=...

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讨论

大学数学

过点P(1,0)作抛物线y=的切线，该切线与抛物线及x轴围成一个平面图形.求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

证明：当x>0时，有不等式arctanx+1/x>π/2.

在椭圆x2/a2 +y2/b2 =1的第一象限上求一点P，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围成图形面积为最小（其中a>0,b>0）.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解.

计算∫lnx/(1-x)2 dx.

求曲线y=1/(1+x2 )(x>0)的拐点.

求由方程2y-x=(x-y)ln⁡(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.

已知((x+a)/(x-a))x =9，求常数a.

设F(x)=，其中f(x)在x=0处可导，f' (0)≠0,f(0)=0，则x=0是F(x)的【】

高阶线性微分方程

微分方程y''-y=ex+1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）【】

电子科技大学高阶线性微分方程

求微分方程y''+2y'+y=xex的通解（一般解）.

求微分方程y''+2y'-3y=e-3x的通解.

设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y''+p(x) y'+q(x)y=f(x)的解，C1,C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是【】

求微分方程y''+4y'+4y=e-2x的通解（一般解）.

微分方程y''-2y'+2y=ex的通解为____________.

设对任意x>0，曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1/x f(t)dt，求f(x)的一般表达式.

设函数y=y(x)满足微分方程y''-3y'+2y=2ex，其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合，求函数y=y(x).

微分方程y'''-2y''+5y'=0的通解y(x)=__________.

微分方程

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x (0<x<+∞)满足y(1)=0的解.

微分方程y''' - y = 0的通解y=_____________________.

求解微分方程组的初值问题

证明微分方程初值问题：的解在α<t<β上存在且惟一，其中a(t),b(t)均在区间α<t<β上连续，α<x_0<β,x_0为任意实数。

求微分方程x dy/dx=x-y满足条件 y|x=√2 =0的解.

求微分方程y'+1/x y=1/(x(x2+1))的通解（一般解）.

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

差分方程△yt = t的通解为____________________.

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x)，定义R上的函数(Sf)(x):(Sf)(x)=e2πiux f(u)du.(i)问答题（10分）求S(1/(1+x2))和S(1/(1+x2)2 )的显示表达式。(ii)问答题（15分）对任意整数k，记fk(x)=(1+x2)-1-k.假设k≥1，找到常数c1,c2使得函数y=(Sfk)(x)满足二阶常微分方程xy''+c1y'+c2xy=0.

若f(x):(0,π)→R连续，f(x)>0,f(π/2)=1，且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x))，求f(x)的表达式.