大学数学-考博试题(电子科技大学 2004年春高阶线性微分方程)

问答题（2004年春电子科技大学）

求固有值问题

答案解析

令y=rR(r)，则

y'=R+rR',y''=2R'+rR''

ry''+2ry=0

y''+2y=0

λ_n=(nπ/a)²,R_n (r)=(1/r)sin(nπ/a)r,(n=1,2,Λ)

讨论

大学数学

求方程uxx+10uxy+9uyy=0的通解.

设有一根具有绝热的侧表面均匀的细杆，密度为ρ，横截面面积为A，其初始温度为φ(x)，两端满足下列边界条件之一：(1)一端（x=0）绝热，另一端（x=L）有热流密度q进入；(2)一端（x=0）温度为μ1(t)，另一端（x=L）与温度为θ(t)的介质有热交换。试分别写出上述两种热传导过程的定解问题。

计算积分x3 J0 (x)dx

函数f(z)=1/(z-1)(z-2)在圆环区域：(1) 0<|z|<1；(2) 1<|z|<2；(3) 2<|z|<+∞；内是处处解析的。试把f(z)在这些区域内展成洛朗级数。

求将单位圆映射成单位圆且满足条件ω(1/2)=0,ω'(1/2)>0的分式线性映射.

计算：∮cdz/((z2+1)(z2+z+1))，其中c:为|z|<1.

电子科技大学数理方程

试将sin5θ,cos5θ用sinθ和cosθ表示.

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价；(2)若对上式中的积分用辛普生公式，试导出相应的计算格式；并针对初值问题给出计算格式。

电子科技大学齐次线性方程组

高阶线性微分方程

微分方程y'''-2y''+5y'=0的通解y(x)=__________.

求微分方程y''+4y'+4y=eax的通解，其中a为实数.

微分方程y''-2y'+2y=ex的通解为____________.

设对任意x>0，曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1/x f(t)dt，求f(x)的一般表达式.

y''-4y=e2x的通解为____________.

微分方程y''-y=ex+1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）【】

求微分方程y''+2y'-3y=e-3x的通解.

求微分方程y''+4y'+4y=e-2x的通解（一般解）.

求微分方程y''+2y'+y=xex的通解（一般解）.

设函数y=y(x)满足微分方程y''-3y'+2y=2ex，其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合，求函数y=y(x).

微分方程

设函数y=f(x)是微分方程2xy'-4y=2lnx-1满足条件y(1)=1/4的解，求曲线y=y(x)(1≤x≤e)的弧长.

若微分方程y''+ay'+by=0的解在(-∞,+∞)上有界，则【】

微分方程y''' - y = 0的通解y=_____________________.

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x)，定义R上的函数(Sf)(x):(Sf)(x)=e2πiux f(u)du.(i)问答题（10分）求S(1/(1+x2))和S(1/(1+x2)2 )的显示表达式。(ii)问答题（15分）对任意整数k，记fk(x)=(1+x2)-1-k.假设k≥1，找到常数c1,c2使得函数y=(Sfk)(x)满足二阶常微分方程xy''+c1y'+c2xy=0.

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0,f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为一阶全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.

设函数y=y(x)的微分方程xy' - 6y = -6，满足y()=10,(1) 求y(x);(2) P为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为Iy，为使Iy最小，求P的坐标.

若f(x):(0,π)→R连续，f(x)>0,f(π/2)=1，且对于任意的x∈(0,π)满足dt/(f2(t))=-cosx/(f(x))，求f(x)的表达式.

求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足条件y|x=e=1的特解.

已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=yΔx/(1+x2)+α，且当Δx→0时，α是∆x(∆x→0)的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于【】

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y' (x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程.