大学数学-考博试题(电子科技大学 2004年春数理方程)

计算题（2004年春电子科技大学）

求方程u_xx+10u_xy+9u_yy=0的通解.

答案解析

特征方程为(y')²-10y'+9=0，则y-x=0或y-9x=0.

令ξ=y-x,η=y-9x，得u_ξη=0

u=f(y-x)+g(y-9x).

讨论

专业数学

写出定解问题的解的表示 ,S:x2+y2+x2=1.

求定解问题对应的贝塞尔方程

电子科技大学复变函数

电子科技大学复变函数

设u(x,y)=x2+xy-y2，求出解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

设u(x,y)=ex(xsiny+ycosy)，求出解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为φ(x)，在一端有热流密度q1进入，另一端与温度为θ(t)的介质有热交换。写出定解问题。

求方程uxx+6uxy-7uyy=0的通解。

求边值问题的固有值和固有函数

电子科技大学复变函数

微分方程的概念

差分方程△yt = t的通解为____________________.

设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动，物体B从点(-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v，方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件.

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为 N，在 t= 0 时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人收和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k>0,求x(t).

从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y= y(v).

若连续函数f(x)满足关系式f(x)=f(t/2)dt+ln2，则f(x)等于【】

设f(x)在含节点xi (i=0,…,n)的区间[a,b]上n+1次可微，Pn (x)是f(x)关于给定的n+1个节点的n次插值多项式，证明：对于任意x∈[a,b]，存在与x有关的ξ∈(a,b)，使得f(x)-Pn (x)=f(n+1) (ξ))/(n+1)!· (x-x0 )(x-x1 )…(x-xn).

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

数值求积f(x)dx时(1)试写出直接用梯形公式的计算式T1；(2)将[a,b]n等分，用Tn表示用复化梯形公式求得的积分值，试写出Tn的计算式；(3)若将步长分半（即步长二分），试给出T2n与Tn的递推关系；(4)若用精度控制|T2n - Tn |<ε，试写出“变步长梯形法”的算法框图.

设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=。(1)试求能使Jacobi迭代法收敛的a的取值范围；(2)对该方程组写出Jacobi迭代格式（设b=(b1,b2,b3)T已知）。

对方程组，试问用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛？为什么？

数理方程

电子科技大学数理方程

电子科技大学数理方程

利用Green函数法求定解问题，.

求解波动方程定解问题。4utt=25uxx -∞<x<+∞,t>0,u(x,0)=sin2x,ut (x,0)=0.

利用积分变换方法求解定解问题，

利用Green函数法求定解问题，

给定偏微分方程：uxx+4uxy+3uyy=2.(1)化为标准型并求通解；(2)对该方程提定解条件：①u(x,x)=0,ux (x,x)=0或②u(0,y)=0,ux (0,y)=0问哪种定解条件下的定解问题是不适定的？为什么？(3)求出方程满足(2)中适定的定解条件的解。

利用积分变换法求解初值问题ut-uxx+u=δ(x)δ(t) -∞<x<+∞,t>0 u(x,0)=0

利用分离变量法求解定解问题

求解热传导方程定解问题。ut=uxx-2u 0<x<π,t>0,u(x,0)=sinx,u(0,t)=0,u(π,t)=0.