大学数学-考博试题(电子科技大学 2004年春数理方程)

计算题（2004年春电子科技大学；2004年秋电子科技大学）

计算：i¹⁺ⁱ.

答案解析

i¹⁺ⁱ=e⁽¹⁺ⁱ⁾lni=e^-(2k+1/2)π∙[cos π/2+isin π/2]=ie^-(2k+1/2)π.

讨论

大学数学

试将sin5θ,cos5θ用sinθ和cosθ表示.

(1)证明初值问题与y(x)=y0+f[t,y(t)]dt等价；(2)若对上式中的积分用辛普生公式，试导出相应的计算格式；并针对初值问题给出计算格式。

电子科技大学齐次线性方程组

对方程组，试问用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛？为什么？

设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=。(1)试求能使Jacobi迭代法收敛的a的取值范围；(2)对该方程组写出Jacobi迭代格式（设b=(b1,b2,b3)T已知）。

数值求积f(x)dx时(1)试写出直接用梯形公式的计算式T1；(2)将[a,b]n等分，用Tn表示用复化梯形公式求得的积分值，试写出Tn的计算式；(3)若将步长分半（即步长二分），试给出T2n与Tn的递推关系；(4)若用精度控制|T2n - Tn |<ε，试写出“变步长梯形法”的算法框图.

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点，li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式（也称为插值基本函数）。证明：(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.

设f(x)在含节点xi (i=0,…,n)的区间[a,b]上n+1次可微，Pn (x)是f(x)关于给定的n+1个节点的n次插值多项式，证明：对于任意x∈[a,b]，存在与x有关的ξ∈(a,b)，使得f(x)-Pn (x)=f(n+1) (ξ))/(n+1)!· (x-x0 )(x-x1 )…(x-xn).

设A=，求‖x‖1,‖x‖F,‖x‖∞.

若x=(-1,2,3,0,4)，求‖x‖1,‖x‖2,‖x‖∞.

专业数学

电子科技大学复变函数

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且在D内是解析的，试证f(z)是一个常量。

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且|f(z)|在D内是一个常量，试证f(z)是一个常量。

若函数w=f(z)在某个区域D内是解析的，且 Ref(z)在D内是一个常量，试证f(z)是一个常量。

计算积分I=∫c(ez dz)/(z2+1)2 ,其中积分路线c为椭圆：4x2+y2-2y-8=0正向一周。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域0<|z-i|<2中展开为罗朗级数。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域2<|z-i|<+∞中展开为罗朗级数。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域1<|z|<+∞中展开为罗朗级数。

电子科技大学复变函数

电子科技大学复变函数

数理方程

设u(x,y)=x2+xy-y2，求出解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

设u(x,y)=ex(xsiny+ycosy)，求出解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为φ(x)，在一端有热流密度q1进入，另一端与温度为θ(t)的介质有热交换。写出定解问题。

求方程uxx+6uxy-7uyy=0的通解。

求边值问题的固有值和固有函数

写出定解问题的解的表示 ,S:x2+y2+x2=1.

求定解问题对应的贝塞尔方程

电子科技大学数理方程

求方程uxx+10uxy+9uyy=0的通解.

利用Green函数法求定解问题，.