大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2020年多元函数的极值)

计算题（2020年理工数学Ⅰ）

求f(x,y)=x³+8y³-xy的极值.

答案解析

f(1/6,1/12)=-1/216

（详细解答过程见word版）

讨论

大学数学

设X服从区间(-π/2,π/2)的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X,Y)=________.

行列式=__________.

设函数f(x,y)=ext²dt，则∂²f/∂x∂y|(1,1)=______

若函数f(x)满足f'' (x)+af' (x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m,f' (0)=n，则f(x)dx=________.

设，则d²y/dx²|t=1=________.

(1/(ex-1)-1/ln⁡(1+x) )=______.

设X1,X2,⋯,X100为来自总体X的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=1/2,Φ(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得P{Xi≤55}的近似值为【】

设A,B,C为三个随机事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/12，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为【】

已知直线L1:(x-a2)/a1 =(y-b2)/b1 =(2-c2)/c1 与直线L2:(x-a3)/a2 =(y-b3)/b2 =(2-c3)/c2 相交与一点，法向量αi=,i=1,2,3，则【】

若矩阵A经初等变换化成B，则【】

多元函数微分法

设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，f(0,0)=0,n= (∂f/∂x,∂f/∂y,-1)|(0,0)，非零向量r与n垂直，则【】

设f,g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy)，求∂u/∂x∙∂v/∂x

设u=yf(x/y)+xg(y/x)，其中函数f,g具有二阶连续导数，求x ∂2u/∂x2+y ∂2u/∂x∂y .

设z=f(2x-y,ysinx)，其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求∂2z/∂x∂y.

设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=/z在点P处沿方向n的方向导数.

函数u=ln⁡(x2+y2+z2)在点M(1,2,-2)处的梯度 gradu|M=__________.

在曲线x=t,y=-t2,z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线是【】

设z=f(ex siny,x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求∂2z/∂x∂y.

由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转柱面在点(0,√3,√2)处的指向外侧的单位法向量为__________.

曲面z-ez+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面方程为____________.

多元函数的极值

当x≥0,y≥0时，x2+y2≤kex+y恒成立，则k的最小值是__________.

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为Q=12x1/2 y1/6，该产品的销售单价P与Q的关系为P=1160-1.5Q，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

求函数f(x,y)=(y-x²)(y-x³)的极值.

求函数f(xy)=xecosy+x2/2的极值.

已知一个二元实变函数：z=f(x,y)=sin2x - sinx∙cosy+cos2y;[其中，(x,y)∈全平面].(1)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最小值：zmin=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)获得最小值zmin？(2)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最大值：zmax=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)取得最大值zmax？提示：首先，可作变量变换：X=sinx,Y=cosy；然后，考虑关于X和Y的二元实变函数z=F(X,Y).

求函数f(x,y)=1/2(xn+yn)（n是正整数）在条件x+y=a（x≥0,y≥0，常数a>0）下的极值.

求函数f(x,y) = 2ln⁡|x| + 的极值.

当x→0+时，下列无穷小阶数最高的是【】